Simplifier une expression trigonométrique

Simplifier une expression algébrique contenant $\cos$ et $\sin$ en utilisant les identités trigonométriques.

L'objectif

Simplifier une expression algébrique contenant $\cos$ et $\sin$ en utilisant les identités trigonométriques.

Le principe

On remplace $\cos^2(x)$ ou $\sin^2(x)$ via $\cos^2 + \sin^2 = 1$ , on utilise les identités remarquables et on réduit.

La méthode

1
Je repère les identités applicables : $\cos^2 + \sin^2 = 1$ , angles associés, identités remarquables algébriques.
2
Je développe ou factorise selon l'objectif (remplacer $\sin^2$ par $1 - \cos^2$ , etc.).
3
Je regroupe les termes en $\cos^2$ , $\sin^2$ ou $\cos\sin$ et j'applique la relation fondamentale si un tel regroupement apparaît.
4
Je vérifie le résultat sur une valeur particulière (par exemple $x = 0$ ou $x = \dfrac{\pi}{2}$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Simplifier $A = (\cos(x) + \sin(x))^2 + (\cos(x) - \sin(x))^2$ .

Étape 1 —

Je repère les identités applicables :

\cos^2 + \sin^2 = 1

, angles associés, identités remarquables algébriques.

On reconnaît deux carrés de sommes/différences. On va développer avec $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .

Étape 2 —

Je développe ou factorise selon l'objectif (remplacer

\sin^2

par

1 - \cos^2

, etc.).

$(\cos(x) + \sin(x))^2 = \cos^2(x) + 2\cos(x)\sin(x) + \sin^2(x)$ et $(\cos(x) - \sin(x))^2 = \cos^2(x) - 2\cos(x)\sin(x) + \sin^2(x)$ .

Étape 3 —

Je regroupe les termes en

\cos^2

\sin^2

\cos\sin

et j'applique la relation fondamentale si un tel regroupement apparaît.

$A = 2\cos^2(x) + 2\sin^2(x) = 2(\cos^2(x) + \sin^2(x)) = 2$ .

Étape 4 —

Je vérifie le résultat sur une valeur particulière (par exemple

x = 0

x = \dfrac{\pi}{2}

Vérification pour $x = 0$ : $(1+0)^2 + (1-0)^2 = 1 + 1 = 2$ \checkmark.

$A = 2$ .

Application guidée

Simplifier $B = \cos^4(x) - \sin^4(x)$ .

Application autonome 1

Simplifier $C = \dfrac{1 - \cos^2(x)}{\sin(x)}$ pour $\sin(x) \neq 0$ .

Application autonome 2

Simplifier $D = \cos^2(x) - \sin^2(x) + 2\sin^2(x)$ .

Application autonome 3

Simplifier $E = \dfrac{\sin^2(x)}{1 + \cos(x)}$ pour $\cos(x) \neq -1$ .

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