Cercle trigonométrique et… : Placer un point sur le cercle… — 1re spé maths | MetMat

Cercle trigonométrique et placement de points

Placer un point sur le cercle trigonométrique

Savoir placer le point image d'un réel $t$ sur le cercle trigonométrique.

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Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Placer sur le cercle trigonométrique le point $M$ associé au réel $t = \dfrac{5\pi}{3}$ .

L'objectif

Savoir placer le point image d'un réel $t$ sur le cercle trigonométrique.

Le principe

On convertit en radians, on ramène dans $[0\,;2\pi[$ , puis on parcourt l'arc depuis $A(1\,;0)$ dans le sens direct.

La méthode

1
Si l'angle est en degrés, je le convertis en radians en multipliant par $\dfrac{\pi}{180}$ .
2
Je ramène la mesure dans $[0\,;2\pi[$ en ajoutant ou retranchant des multiples de $2\pi$ .
3
Je repère la fraction de tour correspondante ( $\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{12}$ de tour, $\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{8}$ , $\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{6}$ , $\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{1}{4}$ , etc.).
4
Je pars de $A(1\,;0)$ et je parcours l'arc dans le sens direct (positif) ou indirect (négatif) jusqu'à la position trouvée.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Placer sur le cercle trigonométrique le point $M$ associé au réel $t = \dfrac{5\pi}{3}$ .

Étape 1 —

Si l'angle est en degrés, je le convertis en radians en multipliant par

\dfrac{\pi}{180}

L'angle est déjà en radians, pas de conversion nécessaire.

Étape 2 —

Je ramène la mesure dans

[0\,;2\pi[

en ajoutant ou retranchant des multiples de

2\pi

$\dfrac{5\pi}{3} \in [0\,;2\pi[$ , donc la mesure est déjà réduite.

Étape 3 —

Je repère la fraction de tour correspondante (

\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{12}

de tour,

\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{8}

\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{6}

\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{1}{4}

, etc.).

$\dfrac{5\pi}{3} = 2\pi - \dfrac{\pi}{3}$ , donc le point est à $\dfrac{\pi}{3}$ avant le tour complet, soit $\dfrac{1}{6}$ de tour en dessous de l'axe $(Ox)$ .

Étape 4 —

Je pars de

A(1\,;0)

et je parcours l'arc dans le sens direct (positif) ou indirect (négatif) jusqu'à la position trouvée.

Depuis $A(1\,;0)$ , on parcourt $\dfrac{5\pi}{3}$ dans le sens direct. Le point $M$ se situe dans le quatrième quadrant, symétriquement à $\dfrac{\pi}{3}$ par rapport à l'axe des abscisses.

Le point $M$ est dans le quatrième quadrant, de coordonnées $\left(\dfrac{1}{2}\,; -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ .

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