Propriétés des fonctions cosinus… : Exploiter la parité et la périodicité des… — 1re spé maths | MetMat

Propriétés des fonctions cosinus et sinus

Exploiter la parité et la périodicité des fonctions trigonométriques

Réduire l'intervalle d'étude d'une fonction trigonométrique en exploitant sa parité et sa périodicité.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f(x) = \cos(x) + 1$ est paire et $2\pi$ -périodique, puis déterminer l'intervalle d'étude minimal.

L'objectif

Réduire l'intervalle d'étude d'une fonction trigonométrique en exploitant sa parité et sa périodicité.

Le principe

$\cos$ est paire et $\sin$ est impaire ; les deux sont $2\pi$ -périodiques, ce qui permet de n'étudier que $[0\,;\pi]$ .

La méthode

1
Je calcule $f(-x)$ et je compare à $f(x)$ pour déterminer si $f$ est paire ( $f(-x) = f(x)$ ) ou impaire ( $f(-x) = -f(x)$ ).
2
Je vérifie la $2\pi$ -périodicité en calculant $f(x + 2\pi)$ et en vérifiant que $f(x + 2\pi) = f(x)$ .
3
Par périodicité, je réduis l'étude à un intervalle de longueur $2\pi$ (par exemple $[-\pi\,;\pi]$ ). Par parité, je réduis encore à la moitié (par exemple $[0\,;\pi]$ ).
4
J'étudie $f$ sur l'intervalle réduit, puis je complète la courbe par symétrie (parité) et translation (périodicité).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $f(x) = \cos(x) + 1$ est paire et $2\pi$ -périodique, puis déterminer l'intervalle d'étude minimal.

Étape 1 —

Je calcule

f(-x)

et je compare à

f(x)

pour déterminer si

f

est paire (

f(-x) = f(x)

) ou impaire (

f(-x) = -f(x)

$f(-x) = \cos(-x) + 1 = \cos(x) + 1 = f(x)$ . Donc $f$ est paire.

Étape 2 —

Je vérifie la

2\pi

-périodicité en calculant

f(x + 2\pi)

et en vérifiant que

f(x + 2\pi) = f(x)

$f(x + 2\pi) = \cos(x + 2\pi) + 1 = \cos(x) + 1 = f(x)$ . Donc $f$ est $2\pi$ -périodique.

Étape 3 —

Par périodicité, je réduis l'étude à un intervalle de longueur

2\pi

(par exemple

[-\pi\,;\pi]

). Par parité, je réduis encore à la moitié (par exemple

[0\,;\pi]

Par $2\pi$ -périodicité, on se ramène à $[-\pi\,;\pi]$ . Par parité, on réduit à $[0\,;\pi]$ .

Étape 4 —

J'étudie

f

sur l'intervalle réduit, puis je complète la courbe par symétrie (parité) et translation (périodicité).

On étudie $f$ sur $[0\,;\pi]$ , puis on complète par symétrie par rapport à $(Oy)$ et par translation de $2\pi$ .

$f$ est paire et $2\pi$ -périodique. L'intervalle d'étude minimal est $[0\,;\pi]$ .

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