Lier courbe représentative et cercle trigonométrique

Résoudre graphiquement une équation ou lire des propriétés en faisant le lien entre cercle trigonométrique et courbe.

L'objectif

Résoudre graphiquement une équation ou lire des propriétés en faisant le lien entre cercle trigonométrique et courbe.

Le principe

L'ordonnée de la courbe de $\cos$ (resp. $\sin$ ) en $t$ est l'abscisse (resp. ordonnée) du point $M(t)$ sur le cercle.

La méthode

1
Sur le cercle trigonométrique, je repère le point $M(t)$ et ses coordonnées $(\cos(t)\,;\sin(t))$ .
2
Sur la courbe de $\cos$ (resp. $\sin$ ), l'ordonnée au point d'abscisse $t$ correspond à l'abscisse (resp. ordonnée) de $M(t)$ sur le cercle.
3
Je repère les zéros, extremums et signes en comparant les deux représentations pour vérifier la cohérence.

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Exercice d'exemple

Déterminer graphiquement les solutions de $\cos(x) = \dfrac{1}{2}$ sur $[0\,;2\pi]$ .

Étape 1 —

Sur le cercle trigonométrique, je repère le point

M(t)

et ses coordonnées

(\cos(t)\,;\sin(t))

Sur le cercle, la condition $\cos(x) = \dfrac{1}{2}$ correspond aux points dont l'abscisse vaut $\dfrac{1}{2}$ . On trace la droite verticale $X = \dfrac{1}{2}$ .

Étape 2 —

Sur la courbe de

\cos

(resp.

\sin

), l'ordonnée au point d'abscisse

t

correspond à l'abscisse (resp. ordonnée) de

M(t)

sur le cercle.

La droite coupe le cercle en deux points : $M\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ dans le quadrant I et $M\left(\dfrac{5\pi}{3}\right)$ dans le quadrant IV.

Étape 3 —

Je repère les zéros, extremums et signes en comparant les deux représentations pour vérifier la cohérence.

Sur la courbe de $y = \cos(x)$ , la droite $y = \dfrac{1}{2}$ coupe la courbe en $x = \dfrac{\pi}{3}$ et $x = \dfrac{5\pi}{3}$ , ce qui confirme.

Les solutions sur $[0\,;2\pi]$ sont $x = \dfrac{\pi}{3}$ et $x = \dfrac{5\pi}{3}$ .

Application guidée

Déterminer graphiquement les solutions de $\sin(x) = 0$ sur $[0\,;2\pi]$ .

Application autonome 1

Déterminer graphiquement les valeurs de $x \in [0\,;2\pi]$ telles que $\cos(x) \geq 0$ .

Application autonome 2

Déterminer graphiquement les solutions de $\sin(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ sur $[0\,;2\pi]$ .

Application autonome 3

Déterminer graphiquement les valeurs de $x \in [0\,;2\pi]$ telles que $\sin(x) < 0$ .

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