Angles associés et symétries du… : Déterminer le cosinus et le sinus d'un… — 1re spé maths | MetMat

Angles associés et symétries du cercle

Déterminer le cosinus et le sinus d'un angle quelconque

Calculer $\cos(t)$ et $\sin(t)$ pour n'importe quel réel $t$ en se ramenant à une valeur remarquable.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\cos\left(-\dfrac{7\pi}{4}\right)$ et $\sin\left(-\dfrac{7\pi}{4}\right)$ .

L'objectif

Calculer $\cos(t)$ et $\sin(t)$ pour n'importe quel réel $t$ en se ramenant à une valeur remarquable.

Le principe

On réduit l'angle modulo $2\pi$ , puis on utilise les formules d'angles associés pour revenir au premier quadrant.

La méthode

1
Je réduis l'angle dans $[0\,;2\pi[$ en ajoutant ou retranchant des multiples de $2\pi$ .
2
Je détermine le quadrant de l'angle réduit.
3
J'écris l'angle sous la forme $\pi - x$ , $\pi + x$ ou $2\pi - x$ (c'est-à-dire $-x$ ) avec $x \in \left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ , puis j'applique la formule d'angle associé.
4
Je remplace par la valeur remarquable de $\cos(x)$ ou $\sin(x)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $\cos\left(-\dfrac{7\pi}{4}\right)$ et $\sin\left(-\dfrac{7\pi}{4}\right)$ .

Étape 1 —

Je réduis l'angle dans

[0\,;2\pi[

en ajoutant ou retranchant des multiples de

2\pi

$-\dfrac{7\pi}{4} + 2\pi = -\dfrac{7\pi}{4} + \dfrac{8\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}$ .

Étape 2 —

Je détermine le quadrant de l'angle réduit.

$\dfrac{\pi}{4} \in \left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ : premier quadrant.

Étape 3 —

J'écris l'angle sous la forme

\pi - x

\pi + x

2\pi - x

(c'est-à-dire

-x

) avec

x \in \left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]

, puis j'applique la formule d'angle associé.

L'angle est déjà dans le premier quadrant, pas besoin de formule d'angle associé.

Étape 4 —

Je remplace par la valeur remarquable de

\cos(x)

\sin(x)

$\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos\left(-\dfrac{7\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin\left(-\dfrac{7\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .

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