En vérifiant que la différence $u_{n+1} - u_n$ est constante

Démontrer qu'une suite est arithmétique et identifier sa raison.

L'objectif

Démontrer qu'une suite est arithmétique et identifier sa raison.

Le principe

Une suite $(u_n)$ est arithmétique si et seulement si $u_{n+1} - u_n$ est une constante $r$ (la raison).

La méthode

1
Calculer $u_{n+1} - u_n$ en utilisant la définition de la suite.
2
Simplifier l'expression et vérifier qu'elle ne dépend pas de $n$ .
3
Conclure que $(u_n)$ est arithmétique de raison $r = u_{n+1} - u_n$ et préciser le premier terme.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Soit $(u_n)$ définie par $u_n = 5n + 3$ . Montrer que $(u_n)$ est arithmétique et préciser sa raison.

Étape 1 —

Calculer

u_{n+1} - u_n

en utilisant la définition de la suite.

$u_{n+1} - u_n = [5(n+1) + 3] - [5n + 3] = 5n + 5 + 3 - 5n - 3$ .

Étape 2 —

Simplifier l'expression et vérifier qu'elle ne dépend pas de

n

$u_{n+1} - u_n = 5$ . Cette expression est constante, elle ne dépend pas de $n$ .

Étape 3 —

Conclure que

(u_n)

est arithmétique de raison

r = u_{n+1} - u_n

et préciser le premier terme.

$(u_n)$ est arithmétique de raison $r = 5$ et de premier terme $u_0 = 3$ .

$(u_n)$ est arithmétique de raison $r = 5$ et de premier terme $u_0 = 3$

Application guidée

Soit $(v_n)$ définie par $v_n = -2n + 7$ . La suite est-elle arithmétique ?

Application autonome 1

Soit $(w_n)$ définie par $w_n = n^2 + 1$ . La suite est-elle arithmétique ?

Application autonome 2

Un réservoir contient $500$ L d'eau. Chaque jour, on en retire $12$ L. Soit $u_n$ le volume d'eau au jour $n$ . Montrer que $(u_n)$ est arithmétique.

Application autonome 3

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = u_n - 4$ . Montrer que $(u_n)$ est arithmétique.

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