Comment modéliser un phénomène à croissance linéaire par une suite arithmétique ? | MetMat

Comment modéliser un phénomène à croissance linéaire par une suite arithmétique ?

En identifiant un accroissement constant et en construisant le modèle arithmétique

Modéliser un phénomène discret à croissance linéaire par une suite arithmétique.

L'objectif

Modéliser un phénomène discret à croissance linéaire par une suite arithmétique.

Le principe

Quand une grandeur évolue en ajoutant (ou retirant) la même quantité à chaque étape, on la modélise par une suite arithmétique.

La méthode

1
Identifier la grandeur qui évolue, la valeur initiale $u_0$ et l'accroissement constant $r$ (positif ou négatif).
2
Écrire le modèle : $(u_n)$ est arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ , soit $u_n = u_0 + nr$ .
3
Utiliser le modèle pour répondre à la question posée (calcul d'un terme, d'un rang, d'une somme).

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Un randonneur part à $1200$ m d'altitude et monte de $150$ m par heure. Soit $u_n$ son altitude après $n$ heures. Exprimer $u_n$ puis déterminer son altitude après $5$ heures.

Étape 1 —

Identifier la grandeur qui évolue, la valeur initiale

u_0

et l'accroissement constant

r

(positif ou négatif).

Valeur initiale : $u_0 = 1200$ m. Accroissement constant : $r = 150$ m/h.

Étape 2 —

Écrire le modèle :

(u_n)

est arithmétique de premier terme

u_0

et de raison

r

, soit

u_n = u_0 + nr

$(u_n)$ est arithmétique : $u_n = 1200 + 150n$ .

Étape 3 —

Utiliser le modèle pour répondre à la question posée (calcul d'un terme, d'un rang, d'une somme).

$u_5 = 1200 + 150 \times 5 = 1200 + 750 = 1950$ m.

$u_n = 1200 + 150n$ et $u_5 = 1950$ m

Application guidée

Un bassin contient $8000$ L. Chaque semaine, on en retire $350$ L. Soit $u_n$ le volume après $n$ semaines. Au bout de combien de semaines le bassin sera-t-il vide ?

Application autonome 1

Un salarié gagne $1800$ \text{€} le premier mois et obtient une augmentation de $25$ \text{€} par mois. Quel est son salaire total sur les $12$ premiers mois ?

Application autonome 2

Un abonnement de salle de sport coûte $35$ \text{€} le premier mois puis augmente de $0{,}80$ \text{€} chaque mois. Soit $u_n$ le prix au mois $n$ . Exprimer $u_n$ et calculer le prix au $24^\text{e}$ mois.

Application autonome 3

Un marathonien court $8$ km la première semaine puis ajoute $3$ km chaque semaine suivante. Au bout de combien de semaines dépassera-t-il $50$ km hebdomadaires ?

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