Comment modéliser une situation… : En identifiant un accroissement constant… — 1re spé maths | MetMat

Comment modéliser une situation par une suite arithmétique ou géométrique ?

En identifiant un accroissement constant ou un taux d'évolution constant

Modéliser un phénomène discret par une suite arithmétique ou géométrique adaptée.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Un capital de $1\,000$ euros est placé à un taux annuel de $5\,\%$ . Exprimer le capital $u_n$ au bout de $n$ années.

L'objectif

Modéliser un phénomène discret par une suite arithmétique ou géométrique adaptée.

Le principe

Un accroissement constant (ajouter/retrancher la même quantité à chaque étape) correspond à une suite arithmétique ; un taux d'évolution constant (multiplier par le même coefficient) correspond à une suite géométrique.

La méthode

1
Identifier la grandeur qui varie et définir $u_n$ (par exemple, le capital au bout de $n$ années, la population à l'instant $n$ , etc.). Préciser $u_0$ .
2
Déterminer le type d'évolution : si on ajoute (ou retranche) toujours la même quantité $r$ , c'est arithmétique ( $u_{n+1} = u_n + r$ ) ; si on multiplie toujours par le même coefficient $q$ (par exemple $q = 1 + t$ pour un taux $t$ ), c'est géométrique ( $u_{n+1} = q \times u_n$ ).
3
Écrire la formule explicite ( $u_n = u_0 + nr$ ou $u_n = u_0 \times q^n$ ) et répondre à la question posée.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Un capital de $1\,000$ euros est placé à un taux annuel de $5\,\%$ . Exprimer le capital $u_n$ au bout de $n$ années.

Étape 1 —

Identifier la grandeur qui varie et définir

u_n

(par exemple, le capital au bout de

n

années, la population à l'instant

n

, etc.). Préciser

u_0

On pose $u_n$ le capital au bout de $n$ années. $u_0 = 1\,000$ .

Étape 2 —

Déterminer le type d'évolution : si on ajoute (ou retranche) toujours la même quantité

r

, c'est arithmétique (

u_{n+1} = u_n + r

) ; si on multiplie toujours par le même coefficient

q

(par exemple

q = 1 + t

pour un taux

t

), c'est géométrique (

u_{n+1} = q \times u_n

Chaque année, le capital est multiplié par $1{,}05$ (taux constant). Donc $u_{n+1} = 1{,}05 \times u_n$ : c'est une suite géométrique de raison $q = 1{,}05$ .

Étape 3 —

Écrire la formule explicite (

u_n = u_0 + nr

u_n = u_0 \times q^n

) et répondre à la question posée.

$u_n = 1\,000 \times 1{,}05^n$ .

$u_n = 1\,000 \times 1{,}05^n$

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