En calculant des termes de rang élevé et en observant la tendance

Conjecturer la limite (finie ou infinie) d'une suite à partir de l'observation de ses termes.

L'objectif

Conjecturer la limite (finie ou infinie) d'une suite à partir de l'observation de ses termes.

Le principe

On calcule $u_n$ pour des valeurs de $n$ de plus en plus grandes ( $n = 10$ , $100$ , $1\,000$ , etc.) et on observe si les termes se rapprochent d'une valeur finie (limite finie) ou s'ils croissent/décroissent sans borne (limite infinie).

La méthode

1
Calculer $u_n$ pour plusieurs valeurs de $n$ croissantes (par exemple $n = 10$ , $50$ , $100$ , $1\,000$ ) à l'aide de la calculatrice ou d'un tableur.
2
Observer la tendance : les termes semblent-ils se rapprocher d'un nombre fixe ? Croître sans limite ? Décroître vers $-\infty$ ?
3
Formuler la conjecture : « La suite $(u_n)$ semble converger vers $\ell$ » ou « La suite $(u_n)$ semble tendre vers $+\infty$ (ou $-\infty$ ) ».

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Exercice d'exemple

Conjecturer la limite de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \dfrac{n+1}{n}$ .

Étape 1 —

Calculer

u_n

pour plusieurs valeurs de

n

croissantes (par exemple

n = 10

50

100

1\,000

) à l'aide de la calculatrice ou d'un tableur.

On calcule : $u_{10} = \dfrac{11}{10} = 1{,}1$ ; $u_{100} = \dfrac{101}{100} = 1{,}01$ ; $u_{1000} = 1{,}001$ .

Étape 2 —

Observer la tendance : les termes semblent-ils se rapprocher d'un nombre fixe ? Croître sans limite ? Décroître vers

-\infty

Les termes se rapprochent de $1$ sans jamais l'atteindre.

Étape 3 —

Formuler la conjecture : « La suite

(u_n)

semble converger vers

\ell

» ou « La suite

(u_n)

semble tendre vers

+\infty

(ou

-\infty

) ».

Conjecture : la suite $(u_n)$ semble converger vers $1$ .

La suite semble converger vers $1$ .

Application guidée

Conjecturer la limite de $(u_n)$ définie par $u_n = 2^n$ .

Application autonome 1

Conjecturer la limite de $(u_n)$ définie par $u_n = 0{,}9^n$ .

Application autonome 2

Conjecturer la limite de $(u_n)$ définie par $u_n = \dfrac{2n^2 + 1}{n^2 + 3}$ .

Application autonome 3

Conjecturer la limite de $(u_n)$ définie par $u_n = \dfrac{3n - 1}{n + 5}$ .

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