En mettant sous forme canonique par complétion du carré

Reconnaître une équation de cercle et en déduire le centre et le rayon.

L'objectif

Reconnaître une équation de cercle et en déduire le centre et le rayon.

Le principe

On complète le carré en $x$ et en $y$ pour ramener l'équation à la forme $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ .

La méthode

1
Je regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$ : $(x^2 + Dx) + (y^2 + Ey) = -F$ .
2
Je complète le carré : $\left(x + \dfrac{D}{2}\right)^2 - \dfrac{D^2}{4} + \left(y + \dfrac{E}{2}\right)^2 - \dfrac{E^2}{4} = -F$ .
3
Je simplifie : $\left(x + \dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \dfrac{E}{2}\right)^2 = \dfrac{D^2 + E^2}{4} - F$ . Si le membre de droite est strictement positif, c'est un cercle de centre $\left(-\dfrac{D}{2} ; -\dfrac{E}{2}\right)$ et de rayon $R = \sqrt{\dfrac{D^2 + E^2}{4} - F}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

0/5 validés

Exercice d'exemple

L'équation $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$ est-elle celle d'un cercle ? Si oui, donner le centre et le rayon.

Étape 1 —

Je regroupe les termes en

x

et les termes en

y

(x^2 + Dx) + (y^2 + Ey) = -F

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 3$ .

Étape 2 —

Je complète le carré :

\left(x + \dfrac{D}{2}\right)^2 - \dfrac{D^2}{4} + \left(y + \dfrac{E}{2}\right)^2 - \dfrac{E^2}{4} = -F

$(x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 = 3$ .

Étape 3 —

Je simplifie :

\left(x + \dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \dfrac{E}{2}\right)^2 = \dfrac{D^2 + E^2}{4} - F

. Si le membre de droite est strictement positif, c'est un cercle de centre

\left(-\dfrac{D}{2} ; -\dfrac{E}{2}\right)

et de rayon

R = \sqrt{\dfrac{D^2 + E^2}{4} - F}

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$ . C'est un cercle de centre $(2 ; -3)$ et de rayon $R = 4$ .

Cercle de centre $(2 ; -3)$ et de rayon $4$

Application guidée

L'équation $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 17 = 0$ est-elle celle d'un cercle ?

Application autonome 1

L'équation $x^2 + y^2 - 6x + 2y + 1 = 0$ est-elle celle d'un cercle ? Si oui, donner le centre et le rayon.

Application autonome 2

L'équation $x^2 + y^2 + 10x - 4y + 30 = 0$ est-elle celle d'un cercle ?

Application autonome 3

L'équation $x^2 + y^2 - 8x + 2y - 8 = 0$ est-elle celle d'un cercle ? Si oui, donner le centre et le rayon.

Crée ton compte gratuit pour accéder à la fiche et aux exercices