En mettant sous forme canonique par complétion du carré

Reconnaître une équation de cercle et en déduire le centre et le rayon.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

L'équation $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$ est-elle celle d'un cercle ? Si oui, donner le centre et le rayon.

L'objectif

Reconnaître une équation de cercle et en déduire le centre et le rayon.

Le principe

On complète le carré en $x$ et en $y$ pour ramener l'équation à la forme $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ .

La méthode

1
Je regroupe les termes en $x$ et les termes en $y$ : $(x^2 + Dx) + (y^2 + Ey) = -F$ .
2
Je complète le carré : $\left(x + \dfrac{D}{2}\right)^2 - \dfrac{D^2}{4} + \left(y + \dfrac{E}{2}\right)^2 - \dfrac{E^2}{4} = -F$ .
3
Je simplifie : $\left(x + \dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \dfrac{E}{2}\right)^2 = \dfrac{D^2 + E^2}{4} - F$ . Si le membre de droite est strictement positif, c'est un cercle de centre $\left(-\dfrac{D}{2} ; -\dfrac{E}{2}\right)$ et de rayon $R = \sqrt{\dfrac{D^2 + E^2}{4} - F}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

L'équation $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$ est-elle celle d'un cercle ? Si oui, donner le centre et le rayon.

Étape 1 —

Je regroupe les termes en

x

et les termes en

y

(x^2 + Dx) + (y^2 + Ey) = -F

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 3$ .

Étape 2 —

Je complète le carré :

\left(x + \dfrac{D}{2}\right)^2 - \dfrac{D^2}{4} + \left(y + \dfrac{E}{2}\right)^2 - \dfrac{E^2}{4} = -F

$(x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 = 3$ .

Étape 3 —

Je simplifie :

\left(x + \dfrac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \dfrac{E}{2}\right)^2 = \dfrac{D^2 + E^2}{4} - F

. Si le membre de droite est strictement positif, c'est un cercle de centre

\left(-\dfrac{D}{2} ; -\dfrac{E}{2}\right)

et de rayon

R = \sqrt{\dfrac{D^2 + E^2}{4} - F}

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$ . C'est un cercle de centre $(2 ; -3)$ et de rayon $R = 4$ .

Cercle de centre $(2 ; -3)$ et de rayon $4$

Application guidée

L'équation $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 17 = 0$ est-elle celle d'un cercle ?

Application autonome 1

L'équation $x^2 + y^2 - 6x + 2y + 1 = 0$ est-elle celle d'un cercle ? Si oui, donner le centre et le rayon.

Application autonome 2

L'équation $x^2 + y^2 + 10x - 4y + 30 = 0$ est-elle celle d'un cercle ?

Application autonome 3

L'équation $x^2 + y^2 - 8x + 2y - 8 = 0$ est-elle celle d'un cercle ? Si oui, donner le centre et le rayon.

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