En calculant $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$

Déterminer l'axe de symétrie et les coordonnées du sommet de la parabole $y = ax^2 + bx + c$ .

L'objectif

Déterminer l'axe de symétrie et les coordonnées du sommet de la parabole $y = ax^2 + bx + c$ .

Le principe

L'axe de symétrie est la droite $x = -\dfrac{b}{2a}$ et le sommet est le point $S\left(-\dfrac{b}{2a} ; f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)$ .

La méthode

1
J'identifie les coefficients $a$ , $b$ et $c$ dans $f(x) = ax^2 + bx + c$ .
2
Je calcule $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ : c'est l'abscisse du sommet et l'axe de symétrie est $x = \alpha$ .
3
Je calcule $\beta = f(\alpha)$ : le sommet est $S(\alpha ; \beta)$ . Si $a > 0$ , $S$ est un minimum ; si $a < 0$ , $S$ est un maximum.

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Exercice d'exemple

Déterminer l'axe de symétrie et le sommet de la parabole $y = 2x^2 - 8x + 3$ .

Étape 1 —

J'identifie les coefficients

a

b

c

dans

f(x) = ax^2 + bx + c

$a = 2$ , $b = -8$ , $c = 3$ .

Étape 2 —

Je calcule

\alpha = -\dfrac{b}{2a}

: c'est l'abscisse du sommet et l'axe de symétrie est

x = \alpha

$\alpha = -\dfrac{-8}{2 \times 2} = \dfrac{8}{4} = 2$ . L'axe de symétrie est $x = 2$ .

Étape 3 —

Je calcule

\beta = f(\alpha)

: le sommet est

S(\alpha ; \beta)

. Si

a > 0

S

est un minimum ; si

a < 0

S

est un maximum.

$\beta = f(2) = 2 \times 4 - 8 \times 2 + 3 = 8 - 16 + 3 = -5$ . Le sommet est $S(2 ; -5)$ . Comme $a = 2 > 0$ , c'est un minimum.

Axe de symétrie : $x = 2$ ; sommet : $S(2 ; -5)$ (minimum)

Application guidée

Déterminer l'axe de symétrie et le sommet de la parabole $y = -x^2 + 6x - 5$ .

Application autonome 1

Déterminer l'axe de symétrie et le sommet de la parabole $y = 3x^2 + 12x + 7$ .

Application autonome 2

Déterminer l'axe de symétrie et le sommet de la parabole $y = \dfrac{1}{2}x^2 - 3x + 1$ .

Application autonome 3

Déterminer l'axe de symétrie et le sommet de la parabole $y = -4x^2 - 8x + 1$ .

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