Comment utiliser un… : En substituant x dans le modèle et en… — maths complémentaires | MetMat

Comment utiliser un ajustement pour interpoler ou extrapoler avec regard critique ?

En substituant $x$ dans le modèle et en distinguant interpolation et extrapolation

Utiliser un modèle ajusté pour estimer une valeur et porter un regard critique sur la fiabilité de l'estimation.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

La droite de régression de la consommation électrique $y$ (en kWh) en fonction de la température $x$ (en °C) est $y = -2{,}57x + 60{,}6$ . Estimer la consommation pour $x = 6$ °C et pour $x = 20$ °C. Commenter.

L'objectif

Utiliser un modèle ajusté pour estimer une valeur et porter un regard critique sur la fiabilité de l'estimation.

Le principe

L'interpolation (valeur de $x$ dans l'intervalle des données) est plus fiable que l'extrapolation (valeur hors des données) car le modèle peut ne plus être valide au-delà du domaine d'observation.

La méthode

1
Repérer l'équation du modèle ajusté ( $y = ax + b$ , $y = Ae^{bx}$ ou $y = Ax^b$ ) et vérifier sa validité dans le domaine d'étude.
2
Substituer la valeur de $x$ dans l'équation du modèle pour calculer l'estimation $\hat{y}$ .
3
Préciser si la valeur $x$ est dans l'intervalle des données (interpolation, plus fiable) ou hors de cet intervalle (extrapolation, moins fiable).
4
Vérifier la cohérence physique ou contextuelle du résultat (signe, ordre de grandeur, limites physiques) et conclure avec les unités appropriées.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Repérer l'équation du modèle ajusté (

y = ax + b

y = Ae^{bx}

y = Ax^b

) et vérifier sa validité dans le domaine d'étude.

Le modèle est $y = -2{,}57x + 60{,}6$ . Les données couvrent $x \in [2 ; 14]$ . Le modèle est valide dans cet intervalle.

Étape 2 —

Substituer la valeur de

x

dans l'équation du modèle pour calculer l'estimation

\hat{y}

Pour $x = 6$ : $y = -2{,}57 \times 6 + 60{,}6 = -15{,}42 + 60{,}6 = 45{,}18$ kWh. Pour $x = 20$ : $y = -2{,}57 \times 20 + 60{,}6 = -51{,}4 + 60{,}6 = 9{,}2$ kWh.

Étape 3 —

Préciser si la valeur

x

est dans l'intervalle des données (interpolation, plus fiable) ou hors de cet intervalle (extrapolation, moins fiable).

$x = 6$ est dans $[2 ; 14]$ : c'est une interpolation, fiable. $x = 20$ est hors de $[2 ; 14]$ : c'est une extrapolation, moins fiable.

Étape 4 —

Vérifier la cohérence physique ou contextuelle du résultat (signe, ordre de grandeur, limites physiques) et conclure avec les unités appropriées.

La valeur $9{,}2$ kWh pour $x = 20$ °C est positive et plausible, mais la tendance linéaire ne tient pas nécessairement par grande chaleur (climatisation). L'interpolation à $45{,}18$ kWh est la plus fiable.

Interpolation ( $x=6$ ) : $y \approx 45{,}2$ kWh (fiable) ; extrapolation ( $x=20$ ) : $y \approx 9{,}2$ kWh (moins fiable).

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Comment utiliser un ajustement pour interpoler ou extrapoler avec regard critique ?

En substituant xxx dans le modèle et en distinguant interpolation et extrapolation

Pour comprendre, fais des exercices !

En substituant $x$ dans le modèle et en distinguant interpolation et extrapolation