Comment effectuer un… : En posant un changement de variable… — maths complémentaires | MetMat

Comment effectuer un ajustement non affine par changement de variable ?

En posant un changement de variable linéarisant ( $Y = \ln y$ ou $X = \ln x$ )

Ajuster un nuage de points par une courbe non affine en se ramenant à un ajustement linéaire par changement de variable.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

La radioactivité $y$ (en Bq) d'un échantillon est mesurée à des instants $x$ (en heures) : $(0 ; 800)$ , $(1 ; 400)$ , $(2 ; 200)$ , $(3 ; 100)$ . Ajuster par un modèle exponentiel $y = Ae^{bx}$ .

L'objectif

Ajuster un nuage de points par une courbe non affine en se ramenant à un ajustement linéaire par changement de variable.

Le principe

On choisit le changement de variable qui transforme le modèle non linéaire en modèle affine : $Y = \ln y$ pour un modèle exponentiel $y = Ae^{bx}$ , ou $Y = \ln y$ et $X = \ln x$ pour un modèle puissance $y = Ax^{b}$ .

La méthode

1
Identifier la forme du modèle attendu (exponentiel $y = Ae^{bx}$ ou puissance $y = Ax^b$ ) d'après l'allure du nuage ou le contexte physique.
2
Poser le changement de variable adapté : $Y = \ln y$ (et $X = x$ ) pour un modèle exponentiel, ou $Y = \ln y$ et $X = \ln x$ pour un modèle puissance. Calculer les nouvelles valeurs $X_i$ et $Y_i$ .
3
Appliquer la méthode des moindres carrés aux couples $(X_i, Y_i)$ pour obtenir la droite $Y = \alpha X + \beta$ , en calculant $\alpha$ et $\beta$ .
Comment déterminer la droite de régression par les moindres carrés ?Voir
4
Revenir aux variables initiales en identifiant les paramètres : pour le modèle exponentiel, $b = \alpha$ et $A = e^{\beta}$ ; pour le modèle puissance, $b = \alpha$ et $A = e^{\beta}$ .
5
Écrire l'équation finale $y = Ae^{bx}$ (ou $y = Ax^b$ ) et vérifier la cohérence sur un point du tableau.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Identifier la forme du modèle attendu (exponentiel

y = Ae^{bx}

ou puissance

y = Ax^b

) d'après l'allure du nuage ou le contexte physique.

Le nuage décroît rapidement et le contexte (désintégration radioactive) indique un modèle exponentiel $y = Ae^{bx}$ .

Étape 2 —

Poser le changement de variable adapté :

Y = \ln y

(et

X = x

) pour un modèle exponentiel, ou

Y = \ln y

X = \ln x

pour un modèle puissance. Calculer les nouvelles valeurs

X_i

Y_i

On pose $Y = \ln y$ et $X = x$ . Les nouvelles valeurs : $(0 ; \ln 800)$ , $(1 ; \ln 400)$ , $(2 ; \ln 200)$ , $(3 ; \ln 100)$ , soit $(0 ; 6{,}685)$ , $(1 ; 5{,}991)$ , $(2 ; 5{,}298)$ , $(3 ; 4{,}605)$ .

Étape 3 —

Appliquer la méthode des moindres carrés aux couples

(X_i, Y_i)

pour obtenir la droite

Y = \alpha X + \beta

, en calculant

\alpha

\beta

$\bar{X} = 1{,}5$ ; $\bar{Y} = \dfrac{6{,}685+5{,}991+5{,}298+4{,}605}{4} = \dfrac{22{,}579}{4} \approx 5{,}645$ . Les écarts $X_i - 1{,}5$ sont $-1{,}5, -0{,}5, 0{,}5, 1{,}5$ et les produits $(X_i-1{,}5)(Y_i-5{,}645)$ sont $\approx -1{,}560, -0{,}173, -0{,}174, -1{,}560$ . $\alpha = \dfrac{\sum (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{\sum (X_i-\bar{X})^2} = \dfrac{-3{,}467}{5} \approx -0{,}693$ .

Étape 4 —

Revenir aux variables initiales en identifiant les paramètres : pour le modèle exponentiel,

b = \alpha

A = e^{\beta}

; pour le modèle puissance,

b = \alpha

A = e^{\beta}

$\beta = \bar{Y} - \alpha \bar{X} \approx 5{,}645 - (-0{,}693)(1{,}5) \approx 5{,}645 + 1{,}040 = 6{,}685$ . Donc $b \approx -0{,}693$ et $A = e^{6{,}685} \approx 800$ .

Étape 5 —

Écrire l'équation finale

y = Ae^{bx}

(ou

y = Ax^b

) et vérifier la cohérence sur un point du tableau.

Modèle : $y = 800 \, e^{-0{,}693x}$ . Vérification en $x = 2$ : $800 \, e^{-1{,}386} \approx 800 \times 0{,}25 = 200$ Bq. Correct (demi-vie $T_{1/2} = \ln 2 / 0{,}693 \approx 1$ heure).

$y = 800\,e^{-0{,}693x}$ ; la demi-vie est d'environ $1$ heure.

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Comment effectuer un ajustement non affine par changement de variable ?

En posant un changement de variable linéarisant (Y=ln⁡yY = \ln yY=lny ou X=ln⁡xX = \ln xX=lnx)

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En posant un changement de variable linéarisant ( $Y = \ln y$ ou $X = \ln x$ )