Comment résoudre une équation… : Résoudre une équation ou inéquation… — maths complémentaires | MetMat

Comment résoudre une équation ou inéquation à l'aide du tableau de variations ?

Résoudre une équation ou inéquation grâce au tableau de variations

Déterminer le nombre de solutions de $f(x) = k$ et résoudre $f(x) \geq k$ (ou $\leq k$ ) en lisant le tableau de variations.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

À partir du tableau de variations de $f(x) = x^3 - 3x + 2$ (maximum $4$ en $-1$ , minimum $0$ en $1$ ), résoudre $f(x) = 0$ .

L'objectif

Déterminer le nombre de solutions de $f(x) = k$ et résoudre $f(x) \geq k$ (ou $\leq k$ ) en lisant le tableau de variations.

Le principe

Le tableau de variations permet de visualiser les intersections de la courbe avec la droite $y = k$ : le nombre de solutions est le nombre de fois que la valeur $k$ est atteinte par la flèche de variation, et le signe de $f(x)-k$ se lit directement sur chaque intervalle.

La méthode

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Dresser (ou utiliser) le tableau de variations complet de $f$ sur le domaine considéré, avec les valeurs aux extremums.
Comment dresser un tableau de variations et déterminer les extremums ?Voir
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Pour l'équation $f(x) = k$ : tracer mentalement (ou sur le tableau) la valeur $k$ et compter combien de fois la flèche de variation croise cette valeur. Sur un intervalle de croissance de $m$ vers $M$ , $f(x) = k$ admet une solution si $m \leq k \leq M$ , et cette solution est unique si $f$ est strictement monotone sur cet intervalle.
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Pour l'inéquation $f(x) \geq k$ : sur chaque sous-intervalle monotone, déterminer si $f(x) \geq k$ (comparer $k$ aux valeurs extrêmes de $f$ sur cet intervalle). Réunir les intervalles solutions.
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Conclure en écrivant l'ensemble solution de l'équation (liste des solutions) ou de l'inéquation (union d'intervalles).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

À partir du tableau de variations de $f(x) = x^3 - 3x + 2$ (maximum $4$ en $-1$ , minimum $0$ en $1$ ), résoudre $f(x) = 0$ .

Étape 1 —

Dresser (ou utiliser) le tableau de variations complet de

f

sur le domaine considéré, avec les valeurs aux extremums.

Tableau de variations : $f$ croît de $-\infty$ vers $4$ sur $]-\infty ; -1]$ , décroît de $4$ vers $0$ sur $[-1 ; 1]$ , croît de $0$ vers $+\infty$ sur $[1 ; +\infty[$ .

Étape 2 —

Pour l'équation

f(x) = k

: tracer mentalement (ou sur le tableau) la valeur

k

et compter combien de fois la flèche de variation croise cette valeur. Sur un intervalle de croissance de

m

vers

M

f(x) = k

admet une solution si

m \leq k \leq M

, et cette solution est unique si

f

est strictement monotone sur cet intervalle.

On cherche $k = 0$ . Sur $]-\infty ; -1]$ : $f$ croît de $-\infty$ vers $4$ , et $0 \in ]-\infty ; 4[$ , donc une solution $x_1 < -1$ . Sur $[-1 ; 1]$ : $f$ décroît de $4$ vers $0$ , et $0$ est atteint exactement en $1$ (borne), donc une solution $x = 1$ . Sur $[1 ; +\infty[$ : $f$ croît depuis $0$ , donc $0$ est atteint en $x = 1$ (même point).

Étape 3 —

Pour l'inéquation

f(x) \geq k

: sur chaque sous-intervalle monotone, déterminer si

f(x) \geq k

(comparer

k

aux valeurs extrêmes de

f

sur cet intervalle). Réunir les intervalles solutions.

On vérifie : $f(1) = 0$ (solution exacte) et $f(-2) = -8 + 6 + 2 = 0$ (autre solution exacte). Ainsi $x = -2$ est la solution sur $]-\infty ; -1[$ .

Étape 4 —

Conclure en écrivant l'ensemble solution de l'équation (liste des solutions) ou de l'inéquation (union d'intervalles).

L'équation $f(x) = 0$ admet deux solutions réelles distinctes : $x = -2$ et $x = 1$ (double racine, tangente à l'axe).

$x = -2$ et $x = 1$ (racine double).

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