Comment dresser un tableau de variations et déterminer les extremums ?

Dresser un tableau de variations et déterminer les extremums

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dresser le tableau de variations de $f(x) = x^3 - 3x + 2$ sur $\mathbb{R}$ .

La méthode

1
Déterminer le domaine de définition de $f$ , puis calculer $f'(x)$ en appliquant les règles de dérivation.
Comment calculer la dérivée d'une fonction composée ?Voir
2
Résoudre $f'(x) = 0$ et étudier le signe de $f'$ sur chaque sous-intervalle délimité par les racines (et les bornes du domaine). On peut utiliser un tableau de signes ou factoriser $f'$ .
3
Dresser le tableau de variations : faire figurer $x$ , $f'(x)$ (signe), et $f(x)$ (flèches montantes ou descendantes). Calculer les valeurs de $f$ aux points où $f'$ s'annule et aux bornes du domaine.
4
Identifier les extremums : si $f'$ passe de $+$ à $-$ en $x_0$ , c'est un maximum local de valeur $f(x_0)$ ; si $f'$ passe de $-$ à $+$ , c'est un minimum local.

Pour comprendre, passons aux exercices.

Exercice d'exemple

Dresser le tableau de variations de $f(x) = x^3 - 3x + 2$ sur $\mathbb{R}$ .

1

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ . $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$ .

2

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ ou $x = 1$ . Signe de $f'$ : $f' > 0$ sur $]-\infty ; -1[$ , $f' < 0$ sur $]-1 ; 1[$ , $f' > 0$ sur $]1 ; +\infty[$ .

3

$f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4$ , $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$ . Tableau : $f$ croît de $-\infty$ vers $4$ (en $-1$ ), décroît vers $0$ (en $1$ ), puis croît vers $+\infty$ .

4

Maximum local en $x = -1$ : $f(-1) = 4$ ( $f'$ passe de $+$ à $-$ ). Minimum local en $x = 1$ : $f(1) = 0$ ( $f'$ passe de $-$ à $+$ ).

Maximum local $4$ en $x = -1$ ; minimum local $0$ en $x = 1$ .

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