Comment dresser un tableau de variations et déterminer les extremums ? | MetMat

Comment dresser un tableau de variations et déterminer les extremums ?

Dresser un tableau de variations et déterminer les extremums

Construire le tableau de variations complet d'une fonction et identifier ses extremums locaux.

L'objectif

Construire le tableau de variations complet d'une fonction et identifier ses extremums locaux.

Le principe

Sur un intervalle où $f' > 0$ , $f$ est croissante ; où $f' < 0$ , $f$ est décroissante ; un extremum local est atteint là où $f'$ s'annule en changeant de signe.

La méthode

1
Déterminer le domaine de définition de $f$ , puis calculer $f'(x)$ en appliquant les règles de dérivation.
Comment calculer la dérivée d'une fonction composée ?Voir
2
Résoudre $f'(x) = 0$ et étudier le signe de $f'$ sur chaque sous-intervalle délimité par les racines (et les bornes du domaine). On peut utiliser un tableau de signes ou factoriser $f'$ .
3
Dresser le tableau de variations : faire figurer $x$ , $f'(x)$ (signe), et $f(x)$ (flèches montantes ou descendantes). Calculer les valeurs de $f$ aux points où $f'$ s'annule et aux bornes du domaine.
4
Identifier les extremums : si $f'$ passe de $+$ à $-$ en $x_0$ , c'est un maximum local de valeur $f(x_0)$ ; si $f'$ passe de $-$ à $+$ , c'est un minimum local.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

Dresser le tableau de variations de $f(x) = x^3 - 3x + 2$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Déterminer le domaine de définition de

f

, puis calculer

f'(x)

en appliquant les règles de dérivation.

$f$ est définie sur $\mathbb{R}$ . $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$ .

Étape 2 —

Résoudre

f'(x) = 0

et étudier le signe de

f'

sur chaque sous-intervalle délimité par les racines (et les bornes du domaine). On peut utiliser un tableau de signes ou factoriser

f'

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ ou $x = 1$ . Signe de $f'$ : $f' > 0$ sur $]-\infty ; -1[$ , $f' < 0$ sur $]-1 ; 1[$ , $f' > 0$ sur $]1 ; +\infty[$ .

Étape 3 —

Dresser le tableau de variations : faire figurer

x

f'(x)

(signe), et

f(x)

(flèches montantes ou descendantes). Calculer les valeurs de

f

aux points où

f'

s'annule et aux bornes du domaine.

$f(-1) = -1 + 3 + 2 = 4$ , $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$ . Tableau : $f$ croît de $-\infty$ vers $4$ (en $-1$ ), décroît vers $0$ (en $1$ ), puis croît vers $+\infty$ .

Étape 4 —

Identifier les extremums : si

f'

passe de

+

-

x_0

, c'est un maximum local de valeur

f(x_0)

; si

f'

passe de

-

+

, c'est un minimum local.

Maximum local en $x = -1$ : $f(-1) = 4$ ( $f'$ passe de $+$ à $-$ ). Minimum local en $x = 1$ : $f(1) = 0$ ( $f'$ passe de $-$ à $+$ ).

Maximum local $4$ en $x = -1$ ; minimum local $0$ en $x = 1$ .

Application guidée

Dresser le tableau de variations de $g(x) = xe^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 1

Dresser le tableau de variations de $h(x) = \frac{x^2 - 1}{x}$ sur $]0 ; +\infty[$ .

Application autonome 2

Dresser le tableau de variations de $k(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 4$ sur $\mathbb{R}$ .

Application autonome 3

Dresser le tableau de variations de $f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$ .

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