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Comment trouver une valeur approchée d'une solution de $f(x)=k$ ?

Trouver une valeur approchée par la méthode de dichotomie

Obtenir un encadrement d'une solution de $f(x) = k$ à la précision souhaitée en réduisant l'intervalle de recherche par deux à chaque étape.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Donner un encadrement à $10^{-1}$ près d'une solution de $x^3 - x - 1 = 0$ dans $[1, 2]$ .

L'objectif

Obtenir un encadrement d'une solution de $f(x) = k$ à la précision souhaitée en réduisant l'intervalle de recherche par deux à chaque étape.

Le principe

On part d'un intervalle $[a, b]$ où $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés ; en testant le milieu $m = \frac{a+b}{2}$ , on conserve la moitié contenant le changement de signe, divisant la longueur par $2$ à chaque itération.

La méthode

1
Partir d'un intervalle $[a, b]$ tel que $f(a) - k$ et $f(b) - k$ soient de signes opposés (existence garantie par le TVI, $f$ continue). Définir la précision souhaitée (ex : $10^{-1}$ , $10^{-2}$ , etc.).
Comment utiliser le TVI pour montrer l'existence d'une solution ?Voir
2
Calculer le milieu $m = \frac{a+b}{2}$ et évaluer $f(m) - k$ .
3
Comparer le signe de $f(m)-k$ avec $f(a)-k$ : si même signe, remplacer $a$ par $m$ ; sinon, remplacer $b$ par $m$ . Le nouvel intervalle $[a, b]$ contient toujours la solution et sa longueur est divisée par $2$ .
4
Répéter les étapes 2 et 3 jusqu'à ce que $b - a$ soit inférieur à la précision souhaitée. Conclure que la solution est dans $[a, b]$ et donner la valeur approchée $m = \frac{a+b}{2}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Donner un encadrement à $10^{-1}$ près d'une solution de $x^3 - x - 1 = 0$ dans $[1, 2]$ .

Étape 1 —

Partir d'un intervalle

[a, b]

tel que

f(a) - k

f(b) - k

soient de signes opposés (existence garantie par le TVI,

f

continue). Définir la précision souhaitée (ex :

10^{-1}

10^{-2}

, etc.).

On pose $f(x) = x^3 - x - 1$ , $k = 0$ . $f(1) = -1 < 0$ , $f(2) = 5 > 0$ : signes opposés sur $[1, 2]$ . Précision souhaitée : $10^{-1}$ , donc on itère jusqu'à $b - a < 0{,}1$ .

Étape 2 —

Calculer le milieu

m = \frac{a+b}{2}

et évaluer

f(m) - k

Itération 1 : $m = \frac{1+2}{2} = 1{,}5$ . $f(1{,}5) = 3{,}375 - 1{,}5 - 1 = 0{,}875 > 0$ .

Étape 3 —

Comparer le signe de

f(m)-k

avec

f(a)-k

: si même signe, remplacer

a

par

m

; sinon, remplacer

b

par

m

. Le nouvel intervalle

[a, b]

contient toujours la solution et sa longueur est divisée par

2

$f(1) < 0$ et $f(1{,}5) > 0$ : on remplace $b$ par $1{,}5$ . Nouvel intervalle : $[1 ; 1{,}5]$ , longueur $0{,}5$ . Itération 2 : $m = 1{,}25$ , $f(1{,}25) = 1{,}953 - 1{,}25 - 1 = -0{,}297 < 0$ . On remplace $a$ par $1{,}25$ . Intervalle $[1{,}25 ; 1{,}5]$ , longueur $0{,}25$ . Itération 3 : $m = 1{,}375$ , $f(1{,}375) \approx 0{,}225 > 0$ . On remplace $b$ par $1{,}375$ . Intervalle $[1{,}25 ; 1{,}375]$ , longueur $0{,}125$ . Itération 4 : $m = 1{,}3125$ , $f(1{,}3125) \approx -0{,}051 < 0$ . On remplace $a$ . Intervalle $[1{,}3125 ; 1{,}375]$ , longueur $0{,}0625 < 0{,}1$ .

Étape 4 —

Répéter les étapes 2 et 3 jusqu'à ce que

b - a

soit inférieur à la précision souhaitée. Conclure que la solution est dans

[a, b]

et donner la valeur approchée

m = \frac{a+b}{2}

La solution est dans $[1{,}3125 ; 1{,}375] \subset [1{,}3 ; 1{,}4]$ . Valeur approchée à $10^{-1}$ : $c \approx 1{,}3$ .

$c \in [1{,}3 ; 1{,}4]$ , valeur approchée $c \approx 1{,}3$ à $10^{-1}$ près.

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