Comment utiliser le TVI pour… : Appliquer le TVI pour montrer… — maths complémentaires | MetMat

Comment utiliser le TVI pour montrer l'existence d'une solution ?

Appliquer le TVI pour montrer l'existence d'une solution

Démontrer qu'une équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans un intervalle donné.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $f(x) = x^3 - 2x - 1$ admet au moins une racine dans $[1, 2]$ .

L'objectif

Démontrer qu'une équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans un intervalle donné.

Le principe

Le TVI stipule que si $f$ est continue sur $[a,b]$ et que $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés (ou que $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ ), alors il existe au moins un $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = k$ .

La méthode

1
Vérifier (ou admettre) que $f$ est continue sur l'intervalle $[a, b]$ considéré, en justifiant brièvement (composée de fonctions continues, fraction définie sur l'intervalle, etc.).
2
Calculer $f(a)$ et $f(b)$ , puis calculer $f(a) - k$ et $f(b) - k$ (ou vérifier directement que $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ ). Vérifier que ces deux quantités sont de signes strictement opposés.
3
Conclure par le TVI : puisque $f$ est continue sur $[a,b]$ et que $(f(a)-k)$ et $(f(b)-k)$ sont de signes opposés, il existe au moins un réel $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = k$ .
4
Si la fonction est strictement monotone sur $[a,b]$ , préciser que la solution est unique sur cet intervalle.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $f(x) = x^3 - 2x - 1$ admet au moins une racine dans $[1, 2]$ .

Étape 1 —

Vérifier (ou admettre) que

f

est continue sur l'intervalle

[a, b]

considéré, en justifiant brièvement (composée de fonctions continues, fraction définie sur l'intervalle, etc.).

$f$ est une fonction polynôme, donc continue sur $\mathbb{R}$ , en particulier sur $[1, 2]$ .

Étape 2 —

Calculer

f(a)

f(b)

, puis calculer

f(a) - k

f(b) - k

(ou vérifier directement que

k

est compris entre

f(a)

f(b)

). Vérifier que ces deux quantités sont de signes strictement opposés.

$f(1) = 1 - 2 - 1 = -2 < 0$ et $f(2) = 8 - 4 - 1 = 3 > 0$ . On cherche $k = 0$ : $f(1) - 0 = -2 < 0$ et $f(2) - 0 = 3 > 0$ , signes opposés.

Étape 3 —

Conclure par le TVI : puisque

f

est continue sur

[a,b]

et que

(f(a)-k)

(f(b)-k)

sont de signes opposés, il existe au moins un réel

c \in ]a,b[

tel que

f(c) = k

Par le TVI, il existe au moins un réel $c \in ]1, 2[$ tel que $f(c) = 0$ , c'est-à-dire une racine de $f$ dans $]1, 2[$ .

Étape 4 —

Si la fonction est strictement monotone sur

[a,b]

, préciser que la solution est unique sur cet intervalle.

$f'(x) = 3x^2 - 2 > 0$ sur $[1, 2]$ (car $f'(1) = 1 > 0$ ), donc $f$ est strictement croissante sur $[1, 2]$ : la racine est unique dans cet intervalle.

Il existe un unique $c \in ]1, 2[$ tel que $f(c) = 0$ .

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