Comment utiliser le TVI pour montrer l'existence d'une solution ?

Appliquer le TVI pour montrer l'existence d'une solution

L'objectif

Démontrer qu'une équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans un intervalle donné.

Le principe

Le TVI stipule que si $f$ est continue sur $[a,b]$ et que $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés (ou que $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ ), alors il existe au moins un $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = k$ .

La méthode

1
Vérifier (ou admettre) que $f$ est continue sur l'intervalle $[a, b]$ considéré, en justifiant brièvement (composée de fonctions continues, fraction définie sur l'intervalle, etc.).
2
Calculer $f(a)$ et $f(b)$ , puis calculer $f(a) - k$ et $f(b) - k$ (ou vérifier directement que $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ ). Vérifier que ces deux quantités sont de signes strictement opposés.
3
Conclure par le TVI : puisque $f$ est continue sur $[a,b]$ et que $(f(a)-k)$ et $(f(b)-k)$ sont de signes opposés, il existe au moins un réel $c \in ]a,b[$ tel que $f(c) = k$ .
4
Si la fonction est strictement monotone sur $[a,b]$ , préciser que la solution est unique sur cet intervalle.

Exemple corrigé

Difficulté croissante de 1 à 4

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