Comment identifier une… : Identifier une asymptote par le… — maths complémentaires | MetMat

Comment identifier une asymptote ?

Identifier une asymptote par le calcul de limites

Déterminer les équations des asymptotes horizontales et verticales d'une fonction.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Déterminer les asymptotes de $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ .

L'objectif

Déterminer les équations des asymptotes horizontales et verticales d'une fonction.

Le principe

La droite $y = L$ est asymptote horizontale si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ ; la droite $x = a$ est asymptote verticale si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ .

La méthode

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Pour chercher une asymptote horizontale : calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ . Si l'une de ces limites vaut $L$ (réel fini), alors $y = L$ est une asymptote horizontale.
Comment calculer la limite d'une fonction ?Voir
2
Pour chercher une asymptote verticale : identifier les valeurs $a$ pour lesquelles $f$ n'est pas définie (annulation du dénominateur, argument du logarithme nul, etc.), puis calculer $\lim_{x \to a} f(x)$ .
Comment calculer la limite d'une fonction ?Voir
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Si $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ ou $-\infty$ (en précisant si nécessaire $x \to a^+$ ou $x \to a^-$ ), alors la droite $x = a$ est une asymptote verticale.
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Conclure en énonçant l'équation de chaque asymptote trouvée et en précisant sa nature (horizontale ou verticale).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Déterminer les asymptotes de $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ .

Étape 1 —

Pour chercher une asymptote horizontale : calculer

\lim_{x \to +\infty} f(x)

\lim_{x \to -\infty} f(x)

. Si l'une de ces limites vaut

L

(réel fini), alors

y = L

est une asymptote horizontale.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x+1}{x-3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(2+\frac{1}{x})}{x(1-\frac{3}{x})} = \frac{2}{1} = 2$ . De même $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$ . Donc $y = 2$ est asymptote horizontale.

Étape 2 —

Pour chercher une asymptote verticale : identifier les valeurs

a

pour lesquelles

f

n'est pas définie (annulation du dénominateur, argument du logarithme nul, etc.), puis calculer

\lim_{x \to a} f(x)

$f$ n'est pas définie en $x = 3$ (annulation du dénominateur). On calcule la limite en $3$ .

Étape 3 —

\lim_{x \to a} f(x) = +\infty

-\infty

(en précisant si nécessaire

x \to a^+

x \to a^-

), alors la droite

x = a

est une asymptote verticale.

Quand $x \to 3^+$ , $2x+1 \to 7 > 0$ et $x - 3 \to 0^+$ , donc $f(x) \to +\infty$ . Quand $x \to 3^-$ , $x - 3 \to 0^-$ , donc $f(x) \to -\infty$ . La droite $x = 3$ est asymptote verticale.

Étape 4 —

Conclure en énonçant l'équation de chaque asymptote trouvée et en précisant sa nature (horizontale ou verticale).

$f$ admet l'asymptote horizontale $y = 2$ et l'asymptote verticale $x = 3$ .

Asymptote horizontale : $y = 2$ ; asymptote verticale : $x = 3$ .

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