Comment appliquer la méthode… : Appliquer la méthode d'Euler — maths complémentaires | MetMat

Comment appliquer la méthode d'Euler pour approcher une solution ?

Appliquer la méthode d'Euler

Approcher numériquement la solution d'une équation différentielle en appliquant l'algorithme d'Euler pas à pas.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On considère $y' = y$ avec $y(0) = 1$ . Appliquer la méthode d'Euler avec $h = 0{,}5$ pour approcher $y(1)$ .

L'objectif

Approcher numériquement la solution d'une équation différentielle en appliquant l'algorithme d'Euler pas à pas.

Le principe

On remplace la courbe intégrale par sa tangente sur chaque intervalle de longueur $h$ : $y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)$ , ce qui donne une polygonale approchant la solution.

La méthode

1
Identifier $f(x, y)$ (le membre droit de $y' = f(x,y)$ ), la condition initiale $(x_0, y_0)$ , le pas $h$ et le nombre d'itérations (ou la valeur finale de $x$ visée).
2
Calculer les abscisses successives : $x_{n+1} = x_n + h$ pour chaque étape.
3
Appliquer la formule d'Euler : $y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)$ , en évaluant $f(x_n, y_n)$ à chaque étape avec les valeurs courantes.
4
Répéter les étapes 2 et 3 jusqu'à atteindre le nombre d'itérations souhaité, et lire la valeur approchée $y_n$ obtenue.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On considère $y' = y$ avec $y(0) = 1$ . Appliquer la méthode d'Euler avec $h = 0{,}5$ pour approcher $y(1)$ .

Étape 1 —

Identifier

f(x, y)

(le membre droit de

y' = f(x,y)

), la condition initiale

(x_0, y_0)

, le pas

h

et le nombre d'itérations (ou la valeur finale de

x

visée).

On identifie $f(x,y) = y$ , $(x_0, y_0) = (0, 1)$ , $h = 0{,}5$ . Il faut 2 itérations pour atteindre $x = 1$ .

Étape 2 —

Calculer les abscisses successives :

x_{n+1} = x_n + h

pour chaque étape.

Abscisses : $x_0 = 0$ , $x_1 = 0{,}5$ , $x_2 = 1$ .

Étape 3 —

Appliquer la formule d'Euler :

y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)

, en évaluant

f(x_n, y_n)

à chaque étape avec les valeurs courantes.

Itération 1 : $y_1 = y_0 + 0{,}5 \cdot f(x_0, y_0) = 1 + 0{,}5 \times 1 = 1{,}5$ . Itération 2 : $y_2 = y_1 + 0{,}5 \cdot f(x_1, y_1) = 1{,}5 + 0{,}5 \times 1{,}5 = 2{,}25$ .

Étape 4 —

Répéter les étapes 2 et 3 jusqu'à atteindre le nombre d'itérations souhaité, et lire la valeur approchée

y_n

obtenue.

On obtient $y(1) \approx 2{,}25$ . La valeur exacte est $e^1 \approx 2{,}718$ .

$y(1) \approx 2{,}25$ (valeur exacte $e \approx 2{,}718$ )

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