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Comment vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle ?

Vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle

Vérifier qu'une fonction donnée est bien solution d'une équation différentielle.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Vérifier que $y = 3e^{2x}$ est solution de $y' = 2y$ sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Vérifier qu'une fonction donnée est bien solution d'une équation différentielle.

Le principe

Une fonction est solution d'une équation différentielle si et seulement si, après substitution de $y$ et $y'$ , l'égalité est vérifiée identiquement sur tout le domaine.

La méthode

1
Calculer explicitement la dérivée $y'$ de la fonction candidate $y = f(x)$ .
Comment calculer la dérivée seconde d'une fonction ?Voir
2
Substituer $y$ et $y'$ dans le membre gauche et le membre droit de l'équation différentielle, puis simplifier chaque membre séparément.
3
Conclure que $y$ est solution si les deux membres sont égaux pour tout $x$ du domaine, et vérifier éventuellement la condition initiale $y(x_0) = y_0$ si elle est donnée.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Vérifier que $y = 3e^{2x}$ est solution de $y' = 2y$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Calculer explicitement la dérivée

y'

de la fonction candidate

y = f(x)

On calcule $y' = 3 \cdot 2e^{2x} = 6e^{2x}$ .

Étape 2 —

Substituer

y

y'

dans le membre gauche et le membre droit de l'équation différentielle, puis simplifier chaque membre séparément.

On substitue : membre gauche $y' = 6e^{2x}$ , membre droit $2y = 2 \cdot 3e^{2x} = 6e^{2x}$ . Les deux membres sont égaux.

Étape 3 —

Conclure que

y

est solution si les deux membres sont égaux pour tout

x

du domaine, et vérifier éventuellement la condition initiale

y(x_0) = y_0

si elle est donnée.

L'égalité $y' = 2y$ est vérifiée pour tout $x \in \mathbb{R}$ , donc $y = 3e^{2x}$ est bien solution. Il n'y a pas de condition initiale à vérifier ici.

$y = 3e^{2x}$ est solution de $y' = 2y$ sur $\mathbb{R}$ .

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