Comment trouver une primitive… : Reconnaître une forme standard pour… — maths complémentaires | MetMat

Comment trouver une primitive d'une fonction ?

Reconnaître une forme standard pour primitiver

Trouver une primitive d'une fonction en la ramenant à une forme standard connue.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer une primitive de $f(x) = 3x^2 + 2x - 5$ .

L'objectif

Trouver une primitive d'une fonction en la ramenant à une forme standard connue.

Le principe

Toute primitive se calcule en identifiant dans l'expression la dérivée d'une sous-expression $u$ , ce qui permet d'appliquer directement une table de primitives.

La méthode

1
Identifier une sous-expression $u$ (souvent une fonction composée) et calculer sa dérivée $u'$ , puis vérifier que la fonction à primitiver contient $u'$ comme facteur.
Comment calculer la dérivée d'une fonction composée ?Voir
2
Reconnaître la forme standard parmi : $u' \to u + C$ , $2uu' \to u^2 + C$ , $u'e^u \to e^u + C$ , $\frac{u'}{u} \to \ln|u| + C$ , et appliquer les primitives des fonctions de référence ( $x^n$ , $\sin$ , $\cos$ , $e^x$ , $\frac{1}{x}$ ).
3
Écrire la primitive obtenue avec la constante $+ C$ ( $C \in \mathbb{R}$ ), en précisant le domaine de définition si nécessaire.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer une primitive de $f(x) = 3x^2 + 2x - 5$ .

Étape 1 —

Identifier une sous-expression

u

(souvent une fonction composée) et calculer sa dérivée

u'

, puis vérifier que la fonction à primitiver contient

u'

comme facteur.

On reconnaît des monômes : $u = x^3$ donne $u' = 3x^2$ , $u = x^2$ donne $u' = 2x$ , et $-5$ est une constante.

Étape 2 —

Reconnaître la forme standard parmi :

u' \to u + C

2uu' \to u^2 + C

u'e^u \to e^u + C

\frac{u'}{u} \to \ln|u| + C

, et appliquer les primitives des fonctions de référence (

x^n

\sin

\cos

e^x

\frac{1}{x}

On applique la forme $u' \to u$ pour chaque terme : $3x^2 \to x^3$ , $2x \to x^2$ , $-5 \to -5x$ .

Étape 3 —

Écrire la primitive obtenue avec la constante

+ C

(

C \in \mathbb{R}

), en précisant le domaine de définition si nécessaire.

Une primitive est $F(x) = x^3 + x^2 - 5x + C$ , $C \in \mathbb{R}$ , définie sur $\mathbb{R}$ .

$F(x) = x^3 + x^2 - 5x + C$

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