Calculer des coefficients… : Calculer un coefficient binomial par… — maths complémentaires | MetMat

Calculer des coefficients binomiaux

Calculer un coefficient binomial par la formule ou le triangle de Pascal

Calculer exactement un coefficient binomial $\binom{n}{k}$ en choisissant la méthode adaptée.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calculer $\binom{5}{2}$ .

L'objectif

Calculer exactement un coefficient binomial $\binom{n}{k}$ en choisissant la méthode adaptée.

Le principe

On a $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ et la relation de Pascal $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ .

La méthode

1
Repérer les valeurs de $n$ et $k$ dans l'expression $\binom{n}{k}$ , et vérifier que $0 \leq k \leq n$ .
2
Si $n$ est petit (typiquement $n \leq 7$ ), construire le triangle de Pascal jusqu'à la ligne $n$ en appliquant $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ .
3
Si $n$ est plus grand ou si on veut la valeur exacte directement, appliquer la formule $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ , en simplifiant avant de calculer pour éviter des grands nombres.
4
Vérifier la cohérence : $\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$ , $\binom{n}{1} = n$ , et $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calculer $\binom{5}{2}$ .

Étape 1 —

Repérer les valeurs de

n

k

dans l'expression

\binom{n}{k}

, et vérifier que

0 \leq k \leq n

On a $n = 5$ , $k = 2$ , et bien $0 \leq 2 \leq 5$ .

Étape 2 —

n

est petit (typiquement

n \leq 7

), construire le triangle de Pascal jusqu'à la ligne

n

en appliquant

\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}

$n = 5$ est petit, on peut construire le triangle de Pascal : ligne $5$ donne $1, 5, 10, 10, 5, 1$ , donc $\binom{5}{2} = 10$ .

Étape 3 —

n

est plus grand ou si on veut la valeur exacte directement, appliquer la formule

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

, en simplifiant avant de calculer pour éviter des grands nombres.

Vérification par la formule : $\binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$ .

Étape 4 —

Vérifier la cohérence :

\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1

\binom{n}{1} = n

, et

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

Cohérence : $\binom{5}{2} = \binom{5}{3} = 10$ ✓.

$\binom{5}{2} = 10$

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