Identifier la loi suivie par… : Identifier la loi par ses critères… — maths complémentaires | MetMat

Identifier la loi suivie par une variable aléatoire discrète

Identifier la loi par ses critères caractéristiques

Déterminer la loi suivie par une variable aléatoire discrète à partir de la description de l'expérience.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On lance un dé équilibré une seule fois. $X$ vaut $1$ si on obtient un six, $0$ sinon. Quelle est la loi de $X$ ?

L'objectif

Déterminer la loi suivie par une variable aléatoire discrète à partir de la description de l'expérience.

Le principe

On identifie la loi en vérifiant les critères : Bernoulli pour une seule épreuve, binomiale pour le nombre de succès en $n$ épreuves indépendantes, géométrique pour le rang du premier succès.

La méthode

1
Repérer la variable aléatoire $X$ décrite dans l'énoncé et ce qu'elle mesure (résultat d'une épreuve, nombre de succès, rang d'apparition…).
2
Vérifier s'il s'agit d'une seule épreuve à deux issues (succès/échec) de probabilité $p$ : si oui, $X \sim \mathcal{B}(p)$ (loi de Bernoulli).
3
Vérifier si $X$ compte le nombre de succès lors de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre $p$ : si oui, $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ (loi binomiale).
4
Vérifier si $X$ est le rang du premier succès dans une suite d'épreuves indépendantes de même paramètre $p$ : si oui, $X \sim \mathcal{G}(p)$ (loi géométrique).
5
Conclure en précisant la loi et ses paramètres, en justifiant brièvement chaque critère vérifié.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On lance un dé équilibré une seule fois. $X$ vaut $1$ si on obtient un six, $0$ sinon. Quelle est la loi de $X$ ?

Étape 1 —

Repérer la variable aléatoire

X

décrite dans l'énoncé et ce qu'elle mesure (résultat d'une épreuve, nombre de succès, rang d'apparition…).

$X$ vaut $1$ (succès : obtenir un six) ou $0$ (échec), il mesure le résultat d'une seule épreuve.

Étape 2 —

Vérifier s'il s'agit d'une seule épreuve à deux issues (succès/échec) de probabilité

p

: si oui,

X \sim \mathcal{B}(p)

(loi de Bernoulli).

Il s'agit d'une seule épreuve à deux issues, avec probabilité de succès $p = \frac{1}{6}$ : on est dans le cas de Bernoulli.

Étape 3 —

Vérifier si

X

compte le nombre de succès lors de

n

épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre

p

: si oui,

X \sim \mathcal{B}(n, p)

(loi binomiale).

Il n'y a pas $n$ répétitions comptant des succès : ce critère ne s'applique pas.

Étape 4 —

Vérifier si

X

est le rang du premier succès dans une suite d'épreuves indépendantes de même paramètre

p

: si oui,

X \sim \mathcal{G}(p)

(loi géométrique).

Il n'y a pas de notion de rang du premier succès : ce critère ne s'applique pas non plus.

Étape 5 —

Conclure en précisant la loi et ses paramètres, en justifiant brièvement chaque critère vérifié.

$X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = \frac{1}{6}$ , notée $X \sim \mathcal{B}\!\left(\frac{1}{6}\right)$ .

$X \sim \mathcal{B}\!\left(\dfrac{1}{6}\right)$

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.