Reconnaître convexité et concavité par lecture graphique

Déterminer visuellement si une courbe est convexe ou concave sur un intervalle.

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

La courbe de $f(x) = x^2$ est-elle convexe ou concave sur $\mathbb{R}$ ?

L'objectif

Déterminer visuellement si une courbe est convexe ou concave sur un intervalle.

Le principe

Une courbe est convexe si elle se situe en dessous de toute corde (ou au-dessus de toute tangente), et concave dans le cas contraire ; cela correspond respectivement à $f'$ croissante ou décroissante.

La méthode

1
Tracer ou observer la courbe sur l'intervalle d'étude et repérer sa forme générale (« souriante » ou « triste »).
2
Vérifier la position par rapport aux cordes : si la courbe est en dessous du segment reliant deux points quelconques, la fonction est convexe ; si elle est au-dessus, elle est concave.
3
Vérifier la position par rapport aux tangentes : si la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes, elle est convexe ; en dessous, elle est concave.
4
Observer le sens de variation de la pente : si les tangentes s'inclinent de plus en plus vers le haut (pente croissante), $f$ est convexe ; si elles s'inclinent de plus en plus vers le bas, $f$ est concave.

Pour comprendre, fais des exercices !

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Exercice d'exemple

La courbe de $f(x) = x^2$ est-elle convexe ou concave sur $\mathbb{R}$ ?

Étape 1 —

Tracer ou observer la courbe sur l'intervalle d'étude et repérer sa forme générale (« souriante » ou « triste »).

La courbe a une forme de parabole ouverte vers le haut (« souriante »).

Étape 2 —

Vérifier la position par rapport aux cordes : si la courbe est en dessous du segment reliant deux points quelconques, la fonction est convexe ; si elle est au-dessus, elle est concave.

Pour deux points quelconques $A$ et $B$ sur la parabole, le segment $[AB]$ est au-dessus de la courbe : la courbe est en dessous des cordes.

Étape 3 —

Vérifier la position par rapport aux tangentes : si la courbe est au-dessus de toutes ses tangentes, elle est convexe ; en dessous, elle est concave.

Les tangentes à la parabole sont toutes en dessous de la courbe (sauf au point de tangence).

Étape 4 —

Observer le sens de variation de la pente : si les tangentes s'inclinent de plus en plus vers le haut (pente croissante),

f

est convexe ; si elles s'inclinent de plus en plus vers le bas,

f

est concave.

$f'(x) = 2x$ est une fonction croissante sur $\mathbb{R}$ : la pente augmente, confirmant la convexité.

$f(x) = x^2$ est convexe sur $\mathbb{R}$

Application guidée

La courbe de $f(x) = -x^2 + 4x$ est-elle convexe ou concave sur $[0;4]$ ?

Application autonome 1

Sur le graphe de $f(x) = x^3$ , identifier les zones de convexité et de concavité.

Application autonome 2

La courbe de Lorenz est convexe sur $[0;1]$ . Que peut-on en déduire sur les inégalités de revenus ?

Application autonome 3

La courbe représentative de $f(x) = \sqrt{x}$ est tracée sur $[0 ; +\infty[$ . Est-elle convexe ou concave ? Justifier par lecture graphique.

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