Comment trouver un point… : Trouver un point d'inflexion par… — maths complémentaires | MetMat

Comment trouver un point d'inflexion ?

Trouver un point d'inflexion par annulation avec changement de signe de $f''$

Trouver les coordonnées des points d'inflexion et l'équation de la tangente en ces points.

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Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Trouver le(s) point(s) d'inflexion de $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ .

L'objectif

Trouver les coordonnées des points d'inflexion et l'équation de la tangente en ces points.

Le principe

Un point d'inflexion est un point où $f''$ s'annule en changeant de signe, ce qui indique un changement de convexité.

La méthode

1
Calculer $f''(x)$ et résoudre $f''(x) = 0$ pour trouver les candidats $x_0$ .
Comment calculer la dérivée seconde d'une fonction ?Voir
2
Vérifier que $f''$ change de signe en $x_0$ (dresser un tableau de signe autour de $x_0$ ).
Comment étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle ?Voir
3
Calculer les coordonnées du point d'inflexion : $I = (x_0,\, f(x_0))$ .
4
Écrire l'équation de la tangente en $I$ : $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Trouver le(s) point(s) d'inflexion de $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ .

Étape 1 —

Calculer

f''(x)

et résoudre

f''(x) = 0

pour trouver les candidats

x_0

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$ , $f''(x) = 6x - 12$ . $f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ .

Étape 2 —

Vérifier que

f''

change de signe en

x_0

(dresser un tableau de signe autour de

x_0

$f''(x) < 0$ pour $x < 2$ et $f''(x) > 0$ pour $x > 2$ : changement de signe confirmé.

Étape 3 —

Calculer les coordonnées du point d'inflexion :

I = (x_0,\, f(x_0))

$f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3$ , donc $I = (2,\, 3)$ .

Étape 4 —

Écrire l'équation de la tangente en

I

y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)

$f'(2) = 12 - 24 + 9 = -3$ , tangente en $I$ : $y = -3(x-2) + 3 = -3x + 9$ .

Point d'inflexion $I = (2,\, 3)$ , tangente $y = -3x + 9$

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Comment trouver un point d'inflexion ?

Trouver un point d'inflexion par annulation avec changement de signe de f′′f''f′′

Pour comprendre, fais des exercices !

Trouver un point d'inflexion par annulation avec changement de signe de $f''$