Comment étudier la convexité… : Étudier la convexité par le signe de… — maths complémentaires | MetMat

Comment étudier la convexité d'une fonction sur un intervalle ?

Étudier la convexité par le signe de la dérivée seconde

Déterminer les intervalles de convexité et de concavité d'une fonction.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Étudier la convexité de $f(x) = x^3 - 3x$ sur $\mathbb{R}$ .

L'objectif

Déterminer les intervalles de convexité et de concavité d'une fonction.

Le principe

Si $f''(x) > 0$ sur un intervalle, $f$ est convexe (courbe au-dessus des tangentes) ; si $f''(x) < 0$ , $f$ est concave.

La méthode

1
Calculer $f''(x)$ .
Comment calculer la dérivée seconde d'une fonction ?Voir
2
Résoudre $f''(x) = 0$ pour trouver les éventuels changements de signe.
3
Dresser le tableau de signe de $f''$ sur l'intervalle d'étude.
4
Conclure : sur les sous-intervalles où $f'' > 0$ , $f$ est convexe ; où $f'' < 0$ , $f$ est concave.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étudier la convexité de $f(x) = x^3 - 3x$ sur $\mathbb{R}$ .

Étape 1 —

Calculer

f''(x)

$f'(x) = 3x^2 - 3$ , donc $f''(x) = 6x$ .

Étape 2 —

Résoudre

f''(x) = 0

pour trouver les éventuels changements de signe.

$f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ .

Étape 3 —

Dresser le tableau de signe de

f''

sur l'intervalle d'étude.

$f''(x) < 0$ pour $x < 0$ et $f''(x) > 0$ pour $x > 0$ .

Étape 4 —

Conclure : sur les sous-intervalles où

f'' > 0

f

est convexe ; où

f'' < 0

f

est concave.

$f$ est concave sur $]-\infty ; 0]$ et convexe sur $[0 ; +\infty[$ .

$f$ est concave sur $]-\infty ; 0]$ et convexe sur $[0 ; +\infty[$

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.