Comment déterminer les droites… : En posant y=ax+b avec a= s_ xy s_x^2 et… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment déterminer les droites de régression par moindres carrés ?

En posant $y=ax+b$ avec $a=\dfrac{s_{xy}}{s_x^2}$ et $b=\bar{y}-a\bar{x}$

Déterminer l'équation $y=ax+b$ de la droite de régression de $y$ en $x$ et l'utiliser pour prédire ou interpréter.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Pour les données budget publicitaire $x$ / chiffre d'affaires $y$ : $(2,30)$ , $(4,42)$ , $(6,50)$ , $(8,58)$ . Déterminer la droite de régression de $y$ en $x$ et prévoir le CA pour $x=10$ k\text{€}.

L'objectif

Déterminer l'équation $y=ax+b$ de la droite de régression de $y$ en $x$ et l'utiliser pour prédire ou interpréter.

Le principe

La droite minimisant $\sum_{i=1}^n(y_i-(ax_i+b))^2$ a pour pente $a=\dfrac{s_{xy}}{s_x^2}$ et passe par le point moyen, d'où $b=\bar{y}-a\bar{x}$ ; on distingue la variable explicative $x$ de la variable expliquée $y$ .

La méthode

1
Je distingue la variable explicative $x$ et la variable expliquée $y$ , puis je calcule $\bar{x}$ , $\bar{y}$ , $s_{xy}$ et $s_x^2$ via Koenig-Huygens.
Comment calculer la covariance empirique $s_{xy}$ via la formule de Koenig-Huygens ?Voir
2
Je calcule la pente $a=\dfrac{s_{xy}}{s_x^2}$ puis l'ordonnée à l'origine $b=\bar{y}-a\bar{x}$ en utilisant le fait que la droite passe par $G=(\bar{x},\bar{y})$ .
3
J'écris l'équation $y=ax+b$ et je trace la droite passant par $G=(\bar{x},\bar{y})$ avec sa pente. Je l'utilise ensuite pour interpréter ou prévoir des valeurs, en m'assurant au préalable que $|r_{xy}|$ confirme la pertinence de l'ajustement.
Comment calculer le coefficient de corrélation linéaire empirique $r_{xy}$ et l'interpréter ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je distingue la variable explicative

x

et la variable expliquée

y

, puis je calcule

\bar{x}

\bar{y}

s_{xy}

s_x^2

via Koenig-Huygens.

$x$ (budget) explique $y$ (CA). On a $\bar{x}=5$ , $\bar{y}=45$ , $s_{xy}=23$ , $s_x^2=5$ (calculs précédents).

Étape 2 —

Je calcule la pente

a=\dfrac{s_{xy}}{s_x^2}

puis l'ordonnée à l'origine

b=\bar{y}-a\bar{x}

en utilisant le fait que la droite passe par

G=(\bar{x},\bar{y})

$a=\dfrac{23}{5}=4{,}6$ et $b=45-4{,}6\times 5=45-23=22$ .

Étape 3 —

J'écris l'équation

y=ax+b

et je trace la droite passant par

G=(\bar{x},\bar{y})

avec sa pente. Je l'utilise ensuite pour interpréter ou prévoir des valeurs, en m'assurant au préalable que

|r_{xy}|

confirme la pertinence de l'ajustement.

Droite : $y=4{,}6x+22$ . Pour $x=10$ : $y=4{,}6\times 10+22=68$ k\text{€}.

$y=4{,}6x+22$ ; CA prévu $\approx 68$ k\text{€} pour $x=10$ k\text{€}.

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Comment déterminer les droites de régression par moindres carrés ?

En posant y=ax+by=ax+by=ax+b avec a=sxysx2a=\dfrac{s_{xy}}{s_x^2}a=sx2​sxy​​ et b=yˉ−axˉb=\bar{y}-a\bar{x}b=yˉ​−axˉ

Pour comprendre, fais des exercices !

En posant $y=ax+b$ avec $a=\dfrac{s_{xy}}{s_x^2}$ et $b=\bar{y}-a\bar{x}$