Comment calculer le coefficient… : En posant r_ xy = s_ xy s_x s_y et en… — ECG2 appliquées | MetMat

Comment calculer le coefficient de corrélation linéaire empirique $r_{xy}$ et l'interpréter ?

En posant $r_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_x s_y}$ et en interprétant sa valeur dans $[-1,1]$

Calculer le coefficient de corrélation linéaire empirique $r_{xy}$ et discuter la pertinence d'un ajustement affine entre $x$ et $y$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Avec les données budget/CA $(2,30)$ , $(4,42)$ , $(6,50)$ , $(8,58)$ ( $\bar{x}=5$ , $\bar{y}=45$ , $s_{xy}=23$ ), calculer $r_{xy}$ .

L'objectif

Calculer le coefficient de corrélation linéaire empirique $r_{xy}$ et discuter la pertinence d'un ajustement affine entre $x$ et $y$ .

Le principe

Pour deux séries $x$ et $y$ d'écarts-types $s_x>0$ et $s_y>0$ , $r_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_x s_y}\in[-1,1]$ ; $|r_{xy}|=1$ équivaut à l'alignement parfait du nuage sur une droite (croissante si $r_{xy}=1$ , décroissante si $r_{xy}=-1$ ).

La méthode

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Je calcule la covariance $s_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_iy_i-\bar{x}\bar{y}$ et les variances $s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2-\bar{x}^2$ , $s_y^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i^2-\bar{y}^2$ par Koenig-Huygens.
Comment calculer la covariance empirique $s_{xy}$ via la formule de Koenig-Huygens ?Voir
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Je vérifie que $s_x>0$ et $s_y>0$ , puis je calcule $r_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_x s_y}$ .
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J'interprète $|r_{xy}|$ : proche de $1$ (par exemple $\ge 0{,}9$ ), l'ajustement affine est pertinent ; proche de $0$ , il n'y a pas de liaison linéaire significative. Le signe de $r_{xy}$ indique le sens : positif pour une tendance croissante, négatif pour une tendance décroissante.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Avec les données budget/CA $(2,30)$ , $(4,42)$ , $(6,50)$ , $(8,58)$ ( $\bar{x}=5$ , $\bar{y}=45$ , $s_{xy}=23$ ), calculer $r_{xy}$ .

Étape 1 —

Je calcule la covariance

s_{xy}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_iy_i-\bar{x}\bar{y}

et les variances

s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2-\bar{x}^2

s_y^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n y_i^2-\bar{y}^2

par Koenig-Huygens.

$\sum x_i^2=4+16+36+64=120$ donc $s_x^2=\frac{120}{4}-25=5$ . $\sum y_i^2=900+1764+2500+3364=8528$ donc $s_y^2=\frac{8528}{4}-2025=2132-2025=107$ .

Étape 2 —

Je vérifie que

s_x>0

s_y>0

, puis je calcule

r_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_x s_y}

$s_x=\sqrt{5}$ et $s_y=\sqrt{107}$ , tous deux strictement positifs. Donc $r_{xy}=\dfrac{23}{\sqrt{5}\sqrt{107}}=\dfrac{23}{\sqrt{535}}\approx\dfrac{23}{23{,}13}\approx 0{,}994$ .

Étape 3 —

J'interprète

|r_{xy}|

: proche de

1

(par exemple

\ge 0{,}9

), l'ajustement affine est pertinent ; proche de

0

, il n'y a pas de liaison linéaire significative. Le signe de

r_{xy}

indique le sens : positif pour une tendance croissante, négatif pour une tendance décroissante.

$r_{xy}\approx 0{,}994$ est très proche de $1$ : forte corrélation linéaire positive, ajustement affine pleinement pertinent.

$r_{xy}\approx 0{,}994$ , ajustement linéaire excellent.

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Comment calculer le coefficient de corrélation linéaire empirique rxyr_{xy}rxy​ et l'interpréter ?

En posant rxy=sxysxsyr_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_x s_y}rxy​=sx​sy​sxy​​ et en interprétant sa valeur dans [−1,1][-1,1][−1,1]

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment calculer le coefficient de corrélation linéaire empirique $r_{xy}$ et l'interpréter ?

En posant $r_{xy}=\dfrac{s_{xy}}{s_x s_y}$ et en interprétant sa valeur dans $[-1,1]$