Démontrer que converge vers l'état stable quand , dans le cas d'un graphe probabiliste à deux ou trois états diagonalisable.
On reprend . Étudier la convergence de pour .
Démontrer que converge vers l'état stable quand , dans le cas d'un graphe probabiliste à deux ou trois états diagonalisable.
Si est diagonalisable avec pour valeur propre simple et toutes les autres valeurs propres vérifiant , alors converge vers une matrice ne contenant qu'un seul sur la diagonale, donc converge ; on en déduit que converge vers un état stable indépendant de .
On reprend . Étudier la convergence de pour .
Les valeurs propres de sont et et est diagonalisable : .
La seconde valeur propre vérifie , l'hypothèse est satisfaite.
Comme , M^n \\to \\tfrac{1}{3} \\begin{pmatrix} 2 & 1 \\\\ 2 & 1 \\end{pmatrix} quand .
Donc V_n = V_0 M^n \\to (1 \\;\\; 0) \\cdot \\tfrac{1}{3} \\begin{pmatrix} 2 & 1 \\\\ 2 & 1 \\end{pmatrix} = \\left( \\tfrac{2}{3} \\;\\; \\tfrac{1}{3} \\right), qui est bien l'état stable trouvé précédemment.
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