Comment écrire la négation… : En appliquant les règles de négation… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment écrire la négation d'une proposition mathématique ?

En appliquant les règles de négation des connecteurs et quantificateurs

Obtenir mécaniquement la négation d'une proposition mathématique quelconque.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Écrire la négation de : $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geqslant 0$ .

L'objectif

Obtenir mécaniquement la négation d'une proposition mathématique quelconque.

Le principe

Les règles de De Morgan donnent $\neg(P \text{ et } Q) \Leftrightarrow (\neg P) \text{ ou } (\neg Q)$ , $\neg(P \text{ ou } Q) \Leftrightarrow (\neg P) \text{ et } (\neg Q)$ , $\neg(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow P \text{ et } \neg Q$ , $\neg(\forall x,\, P(x)) \Leftrightarrow \exists x,\, \neg P(x)$ et $\neg(\exists x,\, P(x)) \Leftrightarrow \forall x,\, \neg P(x)$ .

La méthode

1
J'écris la proposition en faisant apparaître explicitement tous les quantificateurs et connecteurs.
2
Je remplace chaque $\forall$ par $\exists$ et chaque $\exists$ par $\forall$ , en propageant la négation vers l'intérieur.
3
J'applique les règles de De Morgan aux connecteurs : $\neg(\text{et})$ devient $\text{ou}$ , $\neg(\text{ou})$ devient $\text{et}$ , et $\neg(P \Rightarrow Q)$ devient $P \text{ et } \neg Q$ .
4
Je nie la proposition atomique finale (par exemple $=$ devient $\neq$ , $\leqslant$ devient $>$ ).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Écrire la négation de : $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geqslant 0$ .

Étape 1 —

J'écris la proposition en faisant apparaître explicitement tous les quantificateurs et connecteurs.

La proposition est $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geqslant 0$ .

Étape 2 —

Je remplace chaque

\forall

par

\exists

et chaque

\exists

par

\forall

, en propageant la négation vers l'intérieur.

Je remplace $\forall$ par $\exists$ : $\exists x \in \mathbb{R},\ \neg(x^2 \geqslant 0)$ .

Étape 3 —

J'applique les règles de De Morgan aux connecteurs :

\neg(\text{et})

devient

\text{ou}

\neg(\text{ou})

devient

\text{et}

, et

\neg(P \Rightarrow Q)

devient

P \text{ et } \neg Q

Aucun connecteur à traiter.

Étape 4 —

Je nie la proposition atomique finale (par exemple

=

devient

\neq

\leqslant

devient

>

Je nie la proposition atomique : $\neg(x^2 \geqslant 0)$ devient $x^2 < 0$ .

$\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 < 0$ .

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