Comment raisonner par… : En partitionnant les configurations et… — ECG1 approfondies | MetMat

Comment raisonner par disjonction de cas ?

En partitionnant les configurations et en traitant chaque cas

Prouver une proposition en découpant l'ensemble des configurations en cas exhaustifs et en traitant chacun.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Soit $x \in \mathbb{R}$ . Montrer que $|x| \geqslant x$ .

L'objectif

Prouver une proposition en découpant l'ensemble des configurations en cas exhaustifs et en traitant chacun.

Le principe

Si $E = E_1 \cup E_2 \cup \dots \cup E_k$ et si $P$ est vraie sur chaque $E_i$ , alors $P$ est vraie sur $E$ ; la partition doit couvrir toutes les possibilités.

La méthode

1
J'identifie une partition naturelle de l'ensemble de travail (par exemple selon le signe, la parité, l'appartenance à un intervalle…).
2
Je vérifie que la partition est exhaustive : tout élément appartient à au moins un cas.
3
Je traite chaque cas séparément et je montre que la conclusion tient dans chacun.
4
Je conclus que la proposition est vraie dans tous les cas, donc globalement.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Soit $x \in \mathbb{R}$ . Montrer que $|x| \geqslant x$ .

Étape 1 —

J'identifie une partition naturelle de l'ensemble de travail (par exemple selon le signe, la parité, l'appartenance à un intervalle…).

Partition selon le signe de $x$ : cas 1 $x \geqslant 0$ , cas 2 $x < 0$ .

Étape 2 —

Je vérifie que la partition est exhaustive : tout élément appartient à au moins un cas.

Tout réel vérifie $x \geqslant 0$ ou $x < 0$ , la partition est exhaustive.

Étape 3 —

Je traite chaque cas séparément et je montre que la conclusion tient dans chacun.

Cas 1 : $|x| = x \geqslant x$ . Cas 2 : $|x| = -x > 0 > x$ , donc $|x| > x$ .

Étape 4 —

Je conclus que la proposition est vraie dans tous les cas, donc globalement.

Dans les deux cas, $|x| \geqslant x$ , donc $\forall x \in \mathbb{R},\ |x| \geqslant x$ .

$\forall x \in \mathbb{R},\ |x| \geqslant x$ .

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.