Comment construire la fonction… : En cumulant les fréquences croissantes… — ECG1 appliquées | MetMat

Comment construire la fonction de répartition empirique et en déduire les quantiles ?

En cumulant les fréquences croissantes et en lisant graphiquement les quantiles $Q_1$ , médiane, $Q_3$

Construire la fonction de répartition empirique $F_n$ d'une série statistique et en déduire graphiquement les quartiles $Q_1$ , $\mathrm{Me}$ et $Q_3$ .

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On relève pour $15$ élèves le nombre de livres lus durant l'été : $0$ ( $2$ élèves), $1$ ( $4$ élèves), $2$ ( $5$ élèves), $3$ ( $3$ élèves), $4$ ( $1$ élève). Construire la fonction de répartition empirique et en déduire $Q_1$ , $\mathrm{Me}$ , $Q_3$ .

L'objectif

Construire la fonction de répartition empirique $F_n$ d'une série statistique et en déduire graphiquement les quartiles $Q_1$ , $\mathrm{Me}$ et $Q_3$ .

Le principe

Pour une série $(x_i)$ rangée par ordre croissant, la fonction de répartition empirique est définie par $F_n(t)=\dfrac{1}{n}\#\{i,\ x_i\le t\}$ ; c'est une fonction en escalier croissante, continue à droite, valant $0$ avant $x_{(1)}$ et $1$ à partir de $x_{(n)}$ . Les quartiles sont les plus petites valeurs $t$ telles que $F_n(t)\ge 0{,}25$ , $F_n(t)\ge 0{,}5$ et $F_n(t)\ge 0{,}75$ .

La méthode

1
Je dresse un tableau avec les valeurs distinctes $v_j$ triées, leurs effectifs $n_j$ , les effectifs cumulés $N_j$ et les fréquences cumulées croissantes $F_j=N_j/n$ .
2
Je trace la fonction de répartition empirique : une courbe en escalier qui vaut $F_j$ sur l'intervalle $[v_j,v_{j+1}[$ , avec des sauts verticaux aux $v_j$ de hauteur $f_j=n_j/n$ .
3
Je lis les quartiles : pour $Q_1$ je cherche la plus petite valeur $v_j$ telle que $F_j\ge 0{,}25$ ; idem avec $0{,}5$ pour la médiane et $0{,}75$ pour $Q_3$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Je dresse un tableau avec les valeurs distinctes

v_j

triées, leurs effectifs

n_j

, les effectifs cumulés

N_j

et les fréquences cumulées croissantes

F_j=N_j/n

Tableau des effectifs cumulés : $v=0,N=2,F\approx 0{,}133$ ; $v=1,N=6,F=0{,}4$ ; $v=2,N=11,F\approx 0{,}733$ ; $v=3,N=14,F\approx 0{,}933$ ; $v=4,N=15,F=1$ .

Étape 2 —

Je trace la fonction de répartition empirique : une courbe en escalier qui vaut

F_j

sur l'intervalle

[v_j,v_{j+1}[

, avec des sauts verticaux aux

v_j

de hauteur

f_j=n_j/n

Je trace la fonction de répartition empirique en escalier.

Étape 3 —

Je lis les quartiles : pour

Q_1

je cherche la plus petite valeur

v_j

telle que

F_j\ge 0{,}25

; idem avec

0{,}5

pour la médiane et

0{,}75

pour

Q_3

Pour $Q_1$ je cherche la plus petite valeur avec $F\ge 0{,}25$ : c'est $v=1$ (car $F=0{,}4$ ). Pour $\mathrm{Me}$ , $F\ge 0{,}5$ donne $v=2$ (car $F=0{,}733$ ). Pour $Q_3$ , $F\ge 0{,}75$ donne $v=3$ (car $F=0{,}933$ ).

$Q_1=1$ , $\mathrm{Me}=2$ et $Q_3=3$ livres.

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.

Comment construire la fonction de répartition empirique et en déduire les quantiles ?

En cumulant les fréquences croissantes et en lisant graphiquement les quantiles Q1Q_1Q1​, médiane, Q3Q_3Q3​

Pour comprendre, fais des exercices !

En cumulant les fréquences croissantes et en lisant graphiquement les quantiles $Q_1$ , médiane, $Q_3$