Comment identifier une symétrie… : En cherchant un point O tel que chaque point de… — 5e | MetMat

Comment identifier une symétrie centrale dans une figure ?

En cherchant un point O tel que chaque point de la figure a un symétrique dans la figure par rapport à O (la figure est invariante par demi-tour de centre O)

Déterminer si une figure admet un centre de symétrie et le localiser.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Le rectangle $ABCD$ avec $A(0\,;\,0)$ , $B(4\,;\,0)$ , $C(4\,;\,2)$ , $D(0\,;\,2)$ admet-il un centre de symétrie ?

L'objectif

Déterminer si une figure admet un centre de symétrie et le localiser.

Le principe

Une figure admet $O$ comme centre de symétrie si et seulement si, pour chaque point $M$ de la figure, le symétrique de $M$ par rapport à $O$ appartient aussi à la figure.

La méthode

1
Chercher un candidat pour O : souvent le centre d'un polygone régulier, l'intersection des diagonales d'un parallélogramme, ou le milieu d'un segment.
2
Prendre plusieurs points caractéristiques de la figure (sommets, points sur les côtés) et construire leur symétrique par rapport au O candidat.
3
Vérifier que chaque symétrique obtenu appartient bien à la figure (coïncide avec un autre point ou une autre partie de la figure).
4
Si tous les symétriques appartiennent à la figure, conclure que O est un centre de symétrie. Sinon, la figure n'admet pas O comme centre de symétrie.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Le rectangle $ABCD$ avec $A(0\,;\,0)$ , $B(4\,;\,0)$ , $C(4\,;\,2)$ , $D(0\,;\,2)$ admet-il un centre de symétrie ?

Étape 1 —

Chercher un candidat pour O : souvent le centre d'un polygone régulier, l'intersection des diagonales d'un parallélogramme, ou le milieu d'un segment.

Candidat naturel : le centre du rectangle, $O =$ milieu des diagonales $= \left(\frac{0+4}{2}\,;\,\frac{0+2}{2}\right) = (2\,;\,1)$ .

Étape 2 —

Prendre plusieurs points caractéristiques de la figure (sommets, points sur les côtés) et construire leur symétrique par rapport au O candidat.

Symétriques des sommets par rapport à $O(2\,;\,1)$ : $A' = (4\,;\,2) = C$ , $B' = (0\,;\,2) = D$ , $C' = (0\,;\,0) = A$ , $D' = (4\,;\,0) = B$ .

Étape 3 —

Vérifier que chaque symétrique obtenu appartient bien à la figure (coïncide avec un autre point ou une autre partie de la figure).

Chaque symétrique est un autre sommet du rectangle : les images appartiennent bien à la figure.

Étape 4 —

Si tous les symétriques appartiennent à la figure, conclure que O est un centre de symétrie. Sinon, la figure n'admet pas O comme centre de symétrie.

Donc le rectangle admet $O(2\,;\,1)$ comme centre de symétrie.

Oui, le rectangle admet $O(2\,;\,1)$ comme centre de symétrie.

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