Comment utiliser les propriétés de… : En appliquant la conservation des longueurs… — 5e | MetMat

Comment utiliser les propriétés de conservation de la symétrie centrale ?

En appliquant la conservation des longueurs, des angles et du parallélisme pour déduire des égalités de distances ou prouver que des droites sont parallèles

Justifier une égalité de longueurs, d'angles ou un parallélisme en invoquant la symétrie centrale.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans un repère, $A(1\,;\,1)$ et $B(3\,;\,2)$ . Leurs symétriques par rapport à $O(0\,;\,0)$ sont $A'(-1\,;\,-1)$ et $B'(-3\,;\,-2)$ . Montre que $A'B' = AB$ .

L'objectif

Justifier une égalité de longueurs, d'angles ou un parallélisme en invoquant la symétrie centrale.

Le principe

La symétrie centrale conserve les distances ( $AB = A'B'$ ), les angles ( $\widehat{ABC} = \widehat{A'B'C'}$ ) et le parallélisme ( $(AB) \parallel (A'B')$ ).

La méthode

1
Identifier la symétrie centrale en jeu : nommer le centre O et préciser quels points sont symétriques (A et A', B et B', etc.).
2
Rappeler la propriété à utiliser : conservation des distances, des angles, ou du parallélisme.
3
Appliquer la propriété : si A et A' sont symétriques par rapport à O, et B et B' aussi, alors $AB = A'B'$ , $\widehat{A} = \widehat{A'}$ , ou $(AB) \parallel (A'B')$ .
4
Conclure en répondant à la question posée : écrire l'égalité ou l'argument de parallélisme obtenu.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans un repère, $A(1\,;\,1)$ et $B(3\,;\,2)$ . Leurs symétriques par rapport à $O(0\,;\,0)$ sont $A'(-1\,;\,-1)$ et $B'(-3\,;\,-2)$ . Montre que $A'B' = AB$ .

Étape 1 —

Identifier la symétrie centrale en jeu : nommer le centre O et préciser quels points sont symétriques (A et A', B et B', etc.).

$A$ et $A'$ sont symétriques par rapport à $O$ , ainsi que $B$ et $B'$ .

Étape 2 —

Rappeler la propriété à utiliser : conservation des distances, des angles, ou du parallélisme.

La symétrie centrale conserve les distances : $A'B' = AB$ .

Étape 3 —

Appliquer la propriété : si A et A' sont symétriques par rapport à O, et B et B' aussi, alors

AB = A'B'

\widehat{A} = \widehat{A'}

, ou

(AB) \parallel (A'B')

On peut vérifier : $AB = \sqrt{(3-1)^2+(2-1)^2} = \sqrt{5}$ et $A'B' = \sqrt{(-3+1)^2+(-2+1)^2} = \sqrt{5}$ .

Étape 4 —

Conclure en répondant à la question posée : écrire l'égalité ou l'argument de parallélisme obtenu.

Donc $A'B' = AB = \sqrt{5}$ .

$A'B' = AB$ par conservation des distances par la symétrie centrale de centre $O$ .

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