Comment construire le symétrique d'une… : En construisant le symétrique de chaque point… — 5e | MetMat

Comment construire le symétrique d'une figure par symétrie centrale ?

En construisant le symétrique de chaque point caractéristique de la figure par rapport au centre, puis en reliant les images dans le même ordre

Construire l'image d'une figure entière par la symétrie centrale de centre O.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Construis le symétrique du triangle $ABC$ de sommets $A(1\,;\,1)$ , $B(3\,;\,1)$ , $C(2\,;\,3)$ par rapport au centre $O(0\,;\,0)$ .

L'objectif

Construire l'image d'une figure entière par la symétrie centrale de centre O.

Le principe

La symétrie centrale transforme chaque point en son symétrique par rapport à O ; l'image d'une figure est obtenue en transformant tous ses points caractéristiques.

La méthode

1
Identifier les points caractéristiques de la figure : les sommets (pour un polygone) ou le centre (pour un cercle).
2
Construire le symétrique de chaque point caractéristique par rapport à O (O est le milieu, donc reporter la distance OA de l'autre côté).
3
Nommer les images en ajoutant une prime : A → A', B → B', C → C', etc.
4
Relier les images dans le même ordre que les points originaux pour reconstituer la figure image.
5
Pour un cercle : placer le symétrique du centre et tracer un cercle de même rayon. Vérifier que la figure image est congruente à la figure originale.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Construis le symétrique du triangle $ABC$ de sommets $A(1\,;\,1)$ , $B(3\,;\,1)$ , $C(2\,;\,3)$ par rapport au centre $O(0\,;\,0)$ .

Étape 1 —

Identifier les points caractéristiques de la figure : les sommets (pour un polygone) ou le centre (pour un cercle).

Les points caractéristiques sont les sommets $A(1\,;\,1)$ , $B(3\,;\,1)$ , $C(2\,;\,3)$ .

Étape 2 —

Construire le symétrique de chaque point caractéristique par rapport à O (O est le milieu, donc reporter la distance OA de l'autre côté).

On construit chaque symétrique : $A'(-1\,;\,-1)$ , $B'(-3\,;\,-1)$ , $C'(-2\,;\,-3)$ .

Étape 3 —

Nommer les images en ajoutant une prime : A → A', B → B', C → C', etc.

On nomme les images $A'$ , $B'$ , $C'$ .

Étape 4 —

Relier les images dans le même ordre que les points originaux pour reconstituer la figure image.

On relie $A'B'$ , $B'C'$ , $C'A'$ dans le même ordre que $AB$ , $BC$ , $CA$ .

Étape 5 —

Pour un cercle : placer le symétrique du centre et tracer un cercle de même rayon. Vérifier que la figure image est congruente à la figure originale.

Le triangle $A'B'C'$ est l'image : il est congru au triangle $ABC$ (mêmes dimensions, orienté en sens inverse).

Triangle $A'B'C'$ avec $A'(-1\,;\,-1)$ , $B'(-3\,;\,-1)$ , $C'(-2\,;\,-3)$ .

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