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Comment résoudre un problème de proportionnalité par la linéarité ?

En utilisant la propriété d'additivité ( $f(a+b) = f(a) + f(b)$ ) ou d'homogénéité ( $f(ka) = k \cdot f(a)$ ) pour déduire de nouvelles valeurs à partir de valeurs connues

Calculer une valeur inconnue dans un tableau de proportionnalité en combinant des valeurs connues par addition ou multiplication.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans un tableau de proportionnalité, 3 kg de pommes coûtent $3{,}60$ \text{€} et 5 kg coûtent $6{,}00$ \text{€}. Combien coûtent 8 kg ?

L'objectif

Calculer une valeur inconnue dans un tableau de proportionnalité en combinant des valeurs connues par addition ou multiplication.

Le principe

Dans une situation proportionnelle, on peut additionner deux lignes connues ( $f(a+b) = f(a) + f(b)$ ) ou multiplier une valeur par un scalaire ( $f(ka) = k \cdot f(a)$ ).

La méthode

1
Identifier la valeur inconnue et exprimer la quantité cherchée comme une combinaison (somme ou multiple) de quantités déjà renseignées dans le tableau.
Comment reconnaître une situation de proportionnalité ?Voir
2
Appliquer la propriété choisie : additivité (additionner les valeurs correspondantes) ou homogénéité (multiplier une valeur connue par le facteur approprié).
3
Vérifier que le résultat est cohérent avec le contexte (unités, ordre de grandeur).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans un tableau de proportionnalité, 3 kg de pommes coûtent $3{,}60$ \text{€} et 5 kg coûtent $6{,}00$ \text{€}. Combien coûtent 8 kg ?

Étape 1 —

Identifier la valeur inconnue et exprimer la quantité cherchée comme une combinaison (somme ou multiple) de quantités déjà renseignées dans le tableau.

$8 = 3 + 5$ , donc on peut utiliser la propriété d'additivité.

Étape 2 —

Appliquer la propriété choisie : additivité (additionner les valeurs correspondantes) ou homogénéité (multiplier une valeur connue par le facteur approprié).

$f(8) = f(3 + 5) = f(3) + f(5) = 3{,}60 + 6{,}00 = 9{,}60$ \text{€}.

Étape 3 —

Vérifier que le résultat est cohérent avec le contexte (unités, ordre de grandeur).

Vérification : $\frac{9{,}60}{8} = 1{,}20$ \text{€}/kg, cohérent avec $\frac{3{,}60}{3} = 1{,}20$ \text{€}/kg.

8 kg de pommes coûtent $9{,}60$ \text{€}.

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Comment résoudre un problème de proportionnalité par la linéarité ?

En utilisant la propriété d'additivité (f(a+b)=f(a)+f(b)f(a+b) = f(a) + f(b)f(a+b)=f(a)+f(b)) ou d'homogénéité (f(ka)=k⋅f(a)f(ka) = k \cdot f(a)f(ka)=k⋅f(a)) pour déduire de nouvelles valeurs à partir de valeurs connues

Pour comprendre, fais des exercices !

En utilisant la propriété d'additivité ( $f(a+b) = f(a) + f(b)$ ) ou d'homogénéité ( $f(ka) = k \cdot f(a)$ ) pour déduire de nouvelles valeurs à partir de valeurs connues