Comment construire un parallélogramme… : En utilisant la propriété des diagonales qui se… — 5e | MetMat

Comment construire un parallélogramme à partir de données partielles ?

En utilisant la propriété des diagonales qui se coupent en leur milieu : tracer les deux diagonales se croisant en leur milieu commun, puis relier les extrémités

Construire un parallélogramme en exploitant le milieu des diagonales pour trouver le sommet manquant.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Construire le parallélogramme $ABCD$ sachant que $A(0\,;\,0)$ , $B(4\,;\,0)$ , $C(5\,;\,2)$ . Trouver $D$ .

[Graphique invalide]
{"nodes":[{"kind":"polygon","points":[[0,0],[4,0],[5,2],[1,2]],"color":"blue","label":"ABCD"},{"kind":"segment","points":[[0,0],[5,2]],"color":"gray"},{"kind":"segment","points":[[4,0],[1,2]],"color":"gray"}]}

L'objectif

Construire un parallélogramme en exploitant le milieu des diagonales pour trouver le sommet manquant.

Le principe

Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu : le centre $O$ est le milieu de chaque diagonale, donc $D$ est le symétrique de $B$ par rapport au milieu $O$ de $[AC]$ .

La méthode

1
Placer les trois sommets connus $A$ , $B$ , $C$ (ou les données équivalentes) sur la feuille.
2
Trouver le centre $O$ du parallélogramme : $O$ est le milieu du segment $[AC]$ (la diagonale reliant les sommets non consécutifs donnés). Construire $O$ au compas ou à la règle graduée.
3
Construire le quatrième sommet $D$ tel que $O$ soit aussi le milieu de $[BD]$ : tracer la demi-droite de $B$ vers $O$ et prolonger au-delà de $O$ de la même distance $BO$ .
4
Relier les quatre sommets $A$ , $B$ , $C$ , $D$ dans l'ordre pour former le parallélogramme, et vérifier visuellement que les côtés opposés semblent parallèles.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Construire le parallélogramme $ABCD$ sachant que $A(0\,;\,0)$ , $B(4\,;\,0)$ , $C(5\,;\,2)$ . Trouver $D$ .

[Graphique invalide]
{"nodes":[{"kind":"polygon","points":[[0,0],[4,0],[5,2],[1,2]],"color":"blue","label":"ABCD"},{"kind":"segment","points":[[0,0],[5,2]],"color":"gray"},{"kind":"segment","points":[[4,0],[1,2]],"color":"gray"}]}

Étape 1 —

Placer les trois sommets connus

A

B

C

(ou les données équivalentes) sur la feuille.

On place $A(0\,;\,0)$ , $B(4\,;\,0)$ , $C(5\,;\,2)$ sur le repère.

Étape 2 —

Trouver le centre

O

du parallélogramme :

O

est le milieu du segment

[AC]

(la diagonale reliant les sommets non consécutifs donnés). Construire

O

au compas ou à la règle graduée.

Le centre $O$ est le milieu de la diagonale $[AC]$ : $O\left(\frac{0+5}{2}\,;\,\frac{0+2}{2}\right) = O(2{,}5\,;\,1)$ .

Étape 3 —

Construire le quatrième sommet

D

tel que

O

soit aussi le milieu de

[BD]

: tracer la demi-droite de

B

vers

O

et prolonger au-delà de

O

de la même distance

BO

$O$ est aussi le milieu de $[BD]$ , donc $D\left(2 \times 2{,}5 - 4\,;\,2 \times 1 - 0\right) = D(1\,;\,2)$ .

Étape 4 —

Relier les quatre sommets

A

B

C

D

dans l'ordre pour former le parallélogramme, et vérifier visuellement que les côtés opposés semblent parallèles.

On relie $A$ , $B$ , $C$ , $D$ : le parallélogramme $ABCD$ a ses quatre sommets en $(0;0)$ , $(4;0)$ , $(5;2)$ , $(1;2)$ .

$D(1\,;\,2)$

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