Comment reconnaître ou construire un… : En vérifiant que deux côtés opposés sont images… — 4e | MetMat

Comment reconnaître ou construire un parallélogramme à l'aide d'une translation ?

En vérifiant que deux côtés opposés sont images l'un de l'autre par la même translation (c'est-à-dire que le quadrilatère a des côtés opposés parallèles et de même longueur)

Reconnaître ou construire un parallélogramme en vérifiant que deux côtés opposés sont images l'un de l'autre par une translation.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme avec $A(0 ; 0)$ , $B(3 ; 0)$ , $C(4 ; 2)$ , $D(1 ; 2)$ .

L'objectif

Reconnaître ou construire un parallélogramme en vérifiant que deux côtés opposés sont images l'un de l'autre par une translation.

Le principe

$ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $[DC]$ est l'image de $[AB]$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{AD}$ (ou de manière équivalente, si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ ).

La méthode

1
Calcule les composantes du vecteur $\overrightarrow{AB}$ (différence des coordonnées : $B - A$ ).
2
Calcule les composantes du vecteur $\overrightarrow{DC}$ (différence des coordonnées : $C - D$ ).
3
Compare les deux vecteurs : si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ , alors les deux côtés opposés $[AB]$ et $[DC]$ sont images l'un de l'autre par la même translation.
4
Conclus : si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ , alors $ABCD$ est un parallélogramme.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que $ABCD$ est un parallélogramme avec $A(0 ; 0)$ , $B(3 ; 0)$ , $C(4 ; 2)$ , $D(1 ; 2)$ .

Étape 1 —

Calcule les composantes du vecteur

\overrightarrow{AB}

(différence des coordonnées :

B - A

$\overrightarrow{AB}$ a pour composantes $(3-0 ; 0-0) = (3 ; 0)$ .

Étape 2 —

Calcule les composantes du vecteur

\overrightarrow{DC}

(différence des coordonnées :

C - D

$\overrightarrow{DC}$ a pour composantes $(4-1 ; 2-2) = (3 ; 0)$ .

Étape 3 —

Compare les deux vecteurs : si

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

, alors les deux côtés opposés

[AB]

[DC]

sont images l'un de l'autre par la même translation.

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = (3 ; 0)$ : $[DC]$ est l'image de $[AB]$ par la translation de vecteur $(3 ; 0)$ .

Étape 4 —

Conclus : si

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}

, alors

ABCD

est un parallélogramme.

Donc $ABCD$ est un parallélogramme.

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} = (3 ; 0)$ , donc $ABCD$ est un parallélogramme.

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