Comment utiliser la racine carrée dans… : En appliquant le théorème de Pythagore pour… — 4e | MetMat

Comment utiliser la racine carrée dans une situation géométrique ?

En appliquant le théorème de Pythagore pour exprimer une longueur sous forme de racine carrée, puis en calculant sa valeur exacte ou une valeur approchée

Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle en appliquant le théorème de Pythagore et en exprimant le résultat sous forme de racine carrée, exacte ou approchée.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ , on a $AC = 3 \text{ cm}$ et $BC = 4 \text{ cm}$ . Calcule $AB$ .

L'objectif

Calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle en appliquant le théorème de Pythagore et en exprimant le résultat sous forme de racine carrée, exacte ou approchée.

Le principe

Dans un triangle rectangle en $C$ , le théorème de Pythagore donne $AB^2 = AC^2 + BC^2$ . Pour trouver un côté inconnu, on isole son carré puis on prend la racine carrée du résultat.

La méthode

1
Identifie le triangle rectangle et repère l'angle droit. Nomme l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit) et les deux autres côtés.
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Écris la relation de Pythagore : $\text{hypoténuse}^2 = \text{côté}_1^2 + \text{côté}_2^2$ .
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Isole le carré du côté inconnu (soustraction si c'est un petit côté, ou calcul direct si c'est l'hypoténuse).
4
Prends la racine carrée des deux membres pour obtenir la longueur (positive) : si le résultat est un carré parfait, donne la valeur exacte ; sinon, utilise la calculatrice pour une valeur approchée.
Comment reconnaître ou calculer la racine carrée d'un nombre ?Voir
5
Vérifie la cohérence du résultat (l'hypoténuse doit être le plus grand côté) et indique l'unité.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ , on a $AC = 3 \text{ cm}$ et $BC = 4 \text{ cm}$ . Calcule $AB$ .

Étape 1 —

Identifie le triangle rectangle et repère l'angle droit. Nomme l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit) et les deux autres côtés.

Le triangle est rectangle en $C$ , donc $AB$ est l'hypoténuse.

Étape 2 —

Écris la relation de Pythagore :

\text{hypoténuse}^2 = \text{côté}_1^2 + \text{côté}_2^2

Théorème de Pythagore : $AB^2 = AC^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ .

Étape 3 —

Isole le carré du côté inconnu (soustraction si c'est un petit côté, ou calcul direct si c'est l'hypoténuse).

$AB^2 = 25$ ; on isole $AB$ .

Étape 4 —

Prends la racine carrée des deux membres pour obtenir la longueur (positive) : si le résultat est un carré parfait, donne la valeur exacte ; sinon, utilise la calculatrice pour une valeur approchée.

$AB = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$ (valeur exacte, car 25 est un carré parfait).

Étape 5 —

Vérifie la cohérence du résultat (l'hypoténuse doit être le plus grand côté) et indique l'unité.

Vérification : $5 > 4 > 3$ , l'hypoténuse est bien le plus grand côté ✓

$AB = 5 \text{ cm}$

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