Comment utiliser les vecteurs pour… : En traduisant une relation géométrique… — 3e | MetMat

Comment utiliser les vecteurs pour démontrer des propriétés géométriques ?

En traduisant une relation géométrique (parallélisme, colinéarité, milieu) en égalité vectorielle et en la démontrant par le calcul

Démontrer une propriété géométrique (parallélisme, point milieu, colinéarité) à l'aide d'une égalité vectorielle.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

On donne $A(1\,;\,1)$ , $B(3\,;\,2)$ , $C(0\,;\,3)$ , $D(2\,;\,4)$ . Montrer que $(AB) \parallel (CD)$ .

L'objectif

Démontrer une propriété géométrique (parallélisme, point milieu, colinéarité) à l'aide d'une égalité vectorielle.

Le principe

Les propriétés géométriques se traduisent en vecteurs : $(AB) \parallel (CD)$ équivaut à $\overrightarrow{CD} = k\,\overrightarrow{AB}$ ; $M$ milieu de $[AB]$ équivaut à $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{MB}$ ; $A$ , $B$ , $C$ colinéaires équivaut à $\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{AC}$ .

La méthode

1
Identifier la propriété à démontrer et la traduire en termes de vecteurs (égalité, colinéarité, proportionnalité).
2
Exprimer les vecteurs concernés à l'aide des données (coordonnées, relations connues) et calculer leurs composantes ou leur rapport.
3
Vérifier l'égalité vectorielle obtenue (coordonnées égales, ou l'un est un multiple scalaire de l'autre).
Comment déterminer si deux vecteurs sont égaux ?Voir
4
Conclure en énonçant la propriété géométrique démontrée.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

On donne $A(1\,;\,1)$ , $B(3\,;\,2)$ , $C(0\,;\,3)$ , $D(2\,;\,4)$ . Montrer que $(AB) \parallel (CD)$ .

Étape 1 —

Identifier la propriété à démontrer et la traduire en termes de vecteurs (égalité, colinéarité, proportionnalité).

Pour montrer le parallélisme, on doit vérifier que $\overrightarrow{CD}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ , c'est-à-dire $\overrightarrow{CD} = k\,\overrightarrow{AB}$ .

Étape 2 —

Exprimer les vecteurs concernés à l'aide des données (coordonnées, relations connues) et calculer leurs composantes ou leur rapport.

$\overrightarrow{AB} = (3-1\,;\,2-1) = (2\,;\,1)$ et $\overrightarrow{CD} = (2-0\,;\,4-3) = (2\,;\,1)$ .

Étape 3 —

Vérifier l'égalité vectorielle obtenue (coordonnées égales, ou l'un est un multiple scalaire de l'autre).

$\overrightarrow{CD} = 1 \times \overrightarrow{AB}$ : les coordonnées sont identiques, donc $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}$ .

Étape 4 —

Conclure en énonçant la propriété géométrique démontrée.

Puisque $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}$ , les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles (et même de même direction et sens).

$(AB) \parallel (CD)$ car $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} = (2\,;\,1)$ .

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