Comment calculer un angle inconnu ? : En écrivant la relation trigonométrique adaptée… — 3e | MetMat

Comment calculer un angle inconnu ?

En écrivant la relation trigonométrique adaptée, puis en utilisant la fonction réciproque ( $\arccos$ , $\arcsin$ ou $\arctan$ ) sur la calculatrice

Calculer la mesure d'un angle aigu inconnu d'un triangle rectangle à partir des longueurs des côtés.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ , on a $AC = 6\,\mathrm{cm}$ et $AB = 10\,\mathrm{cm}$ . Calculer l'angle $\hat{A}$ .

L'objectif

Calculer la mesure d'un angle aigu inconnu d'un triangle rectangle à partir des longueurs des côtés.

Le principe

On calcule d'abord le rapport des deux côtés connus, puis on utilise la fonction réciproque ( $\arccos$ , $\arcsin$ ou $\arctan$ , notées $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ , $\tan^{-1}$ sur la calculatrice) pour trouver l'angle.

La méthode

1
Repérer l'angle inconnu et nommer les trois côtés du triangle par rapport à cet angle (hypoténuse, adjacent, opposé).
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Choisir la relation trigonométrique qui relie l'angle inconnu aux deux côtés connus :
- $\cos \hat{A} = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
- $\sin \hat{A} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$
- $\tan \hat{A} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$
Comment choisir la bonne ligne trigonométrique ?Voir
3
Calculer le rapport numérique des deux côtés connus.
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Appliquer la fonction réciproque sur la calculatrice pour obtenir l'angle en degrés :
- $\hat{A} = \arccos\left(\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\right)$
- $\hat{A} = \arcsin\left(\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\right)$
- $\hat{A} = \arctan\left(\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\right)$

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ , on a $AC = 6\,\mathrm{cm}$ et $AB = 10\,\mathrm{cm}$ . Calculer l'angle $\hat{A}$ .

Étape 1 —

Repérer l'angle inconnu et nommer les trois côtés du triangle par rapport à cet angle (hypoténuse, adjacent, opposé).

L'angle inconnu est $\hat{A}$ . L'hypoténuse est $AB = 10$ , le côté adjacent est $AC = 6$ .

Étape 2 —

Choisir la relation trigonométrique qui relie l'angle inconnu aux deux côtés connus :

$\cos \hat{A} = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
$\sin \hat{A} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$
$\tan \hat{A} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$

On dispose du côté adjacent ( $AC$ ) et de l'hypoténuse ( $AB$ ) → on utilise le cosinus : $\cos \hat{A} = \dfrac{AC}{AB}$ .

Étape 3 —

Calculer le rapport numérique des deux côtés connus.

$\cos \hat{A} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$ .

Étape 4 —

Appliquer la fonction réciproque sur la calculatrice pour obtenir l'angle en degrés :

$\hat{A} = \arccos\left(\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\right)$
$\hat{A} = \arcsin\left(\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\right)$
$\hat{A} = \arctan\left(\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\right)$

$\hat{A} = \arccos(0{,}6) \approx 53{,}13°$ .

$\hat{A} \approx 53{,}1°$ .

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Comment calculer un angle inconnu ?

En écrivant la relation trigonométrique adaptée, puis en utilisant la fonction réciproque (arccos⁡\arccosarccos, arcsin⁡\arcsinarcsin ou arctan⁡\arctanarctan) sur la calculatrice

Pour comprendre, fais des exercices !

En écrivant la relation trigonométrique adaptée, puis en utilisant la fonction réciproque ( $\arccos$ , $\arcsin$ ou $\arctan$ ) sur la calculatrice