Comment choisir la bonne ligne… : En identifiant les deux côtés en jeu par… — 3e | MetMat

Comment choisir la bonne ligne trigonométrique ?

En identifiant les deux côtés en jeu par rapport à l'angle considéré : adjacent/hypoténuse → $\cos$ , opposé/hypoténuse → $\sin$ , opposé/adjacent → $\tan$

Choisir la bonne relation trigonométrique (cos, sin ou tan) en fonction des côtés connus et du côté ou de l'angle recherché.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ , on connaît l'hypoténuse $AB = 10$ et le côté $AC = 6$ . Quelle ligne trigonométrique faut-il utiliser pour l'angle $\hat{A}$ ?

L'objectif

Choisir la bonne relation trigonométrique (cos, sin ou tan) en fonction des côtés connus et du côté ou de l'angle recherché.

Le principe

Dans un triangle rectangle en $C$ , pour un angle aigu $\hat{A}$ : le côté adjacent à $\hat{A}$ et l'hypoténuse donnent $\cos$ , le côté opposé à $\hat{A}$ et l'hypoténuse donnent $\sin$ , le côté opposé et le côté adjacent donnent $\tan$ .

La méthode

1
Repérer le sommet de l'angle droit et l'angle aigu $\hat{A}$ considéré dans le triangle rectangle.
2
Nommer les trois côtés par rapport à $\hat{A}$ : l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit, le plus long), le côté adjacent (côté de l'angle $\hat{A}$ qui n'est pas l'hypoténuse) et le côté opposé (en face de $\hat{A}$ ).
3
Identifier les deux côtés en jeu (côtés connus et/ou recherchés), puis choisir la relation :
- côté adjacent et hypoténuse → $\cos \hat{A} = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
- côté opposé et hypoténuse → $\sin \hat{A} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$
- côté opposé et côté adjacent → $\tan \hat{A} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $C$ , on connaît l'hypoténuse $AB = 10$ et le côté $AC = 6$ . Quelle ligne trigonométrique faut-il utiliser pour l'angle $\hat{A}$ ?

Étape 1 —

Repérer le sommet de l'angle droit et l'angle aigu

\hat{A}

considéré dans le triangle rectangle.

L'angle droit est en $C$ , donc l'hypoténuse est $AB$ . L'angle considéré est $\hat{A}$ .

Étape 2 —

Nommer les trois côtés par rapport à

\hat{A}

: l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit, le plus long), le côté adjacent (côté de l'angle

\hat{A}

qui n'est pas l'hypoténuse) et le côté opposé (en face de

\hat{A}

Par rapport à $\hat{A}$ : l'hypoténuse est $AB = 10$ , le côté adjacent est $AC = 6$ , le côté opposé est $BC$ .

Étape 3 —

Identifier les deux côtés en jeu (côtés connus et/ou recherchés), puis choisir la relation :

côté adjacent et hypoténuse → $\cos \hat{A} = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
côté opposé et hypoténuse → $\sin \hat{A} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$
côté opposé et côté adjacent → $\tan \hat{A} = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$

On dispose du côté adjacent ( $AC$ ) et de l'hypoténuse ( $AB$ ) → on utilise le cosinus : $\cos \hat{A} = \dfrac{AC}{AB}$ .

On utilise le cosinus : $\cos \hat{A} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$ .

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Comment choisir la bonne ligne trigonométrique ?

En identifiant les deux côtés en jeu par rapport à l'angle considéré : adjacent/hypoténuse → cos⁡\coscos, opposé/hypoténuse → sin⁡\sinsin, opposé/adjacent → tan⁡\tantan

Pour comprendre, fais des exercices !

En identifiant les deux côtés en jeu par rapport à l'angle considéré : adjacent/hypoténuse → $\cos$ , opposé/hypoténuse → $\sin$ , opposé/adjacent → $\tan$