Comment calculer et utiliser les… : En additionnant les effectifs de chaque classe… — 3e | MetMat

Comment calculer et utiliser les effectifs cumulés croissants ?

En additionnant les effectifs de chaque classe de manière cumulative et en lisant des informations (médiane, quartiles) sur ce tableau

Construire un tableau d'effectifs cumulés croissants et l'utiliser pour déterminer la médiane et les quartiles d'une série statistique.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Le tableau suivant donne les notes et effectifs d'une classe de 20 élèves : 6 (2), 8 (3), 10 (5), 12 (6), 14 (3), 16 (1). Construis le tableau des effectifs cumulés et détermine la médiane, $Q_1$ et $Q_3$ .

L'objectif

Construire un tableau d'effectifs cumulés croissants et l'utiliser pour déterminer la médiane et les quartiles d'une série statistique.

Le principe

L'effectif cumulé croissant jusqu'à une valeur $x_i$ est le nombre total de données inférieures ou égales à $x_i$ . On l'obtient en ajoutant successivement les effectifs de chaque modalité dans l'ordre croissant. Ce tableau permet de lire directement la médiane (effectif cumulé $\geq \frac{N}{2}$ ) et les quartiles ( $Q_1$ pour cumulé $\geq \frac{N}{4}$ , $Q_3$ pour cumulé $\geq \frac{3N}{4}$ ).

La méthode

1
Trier les modalités (valeurs ou classes) dans l'ordre croissant et noter leurs effectifs dans un tableau.
2
Compléter une colonne « effectif cumulé croissant » : pour la première ligne, le cumulé est égal à l'effectif ; pour chaque ligne suivante, ajouter l'effectif de la ligne à l'effectif cumulé précédent.
3
Vérifier que le dernier effectif cumulé est bien égal à l'effectif total $N$ .
4
Lire la médiane : c'est la valeur $x_i$ dont l'effectif cumulé atteint ou dépasse $\dfrac{N}{2}$ pour la première fois.
Comment déterminer la médiane ?Voir
5
Lire $Q_1$ (effectif cumulé $\geq \dfrac{N}{4}$ ) et $Q_3$ (effectif cumulé $\geq \dfrac{3N}{4}$ ) de la même façon, et interpréter ces valeurs dans le contexte.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Trier les modalités (valeurs ou classes) dans l'ordre croissant et noter leurs effectifs dans un tableau.

Notes ordonnées et effectifs : 6→2, 8→3, 10→5, 12→6, 14→3, 16→1. Total $N = 20$ .

Étape 2 —

Compléter une colonne « effectif cumulé croissant » : pour la première ligne, le cumulé est égal à l'effectif ; pour chaque ligne suivante, ajouter l'effectif de la ligne à l'effectif cumulé précédent.

Effectifs cumulés croissants : 6→2, 8→5, 10→10, 12→16, 14→19, 16→20. Le dernier cumulé vaut bien 20.

Étape 3 —

Vérifier que le dernier effectif cumulé est bien égal à l'effectif total

N

Vérification : cumulé final = 20 = $N$ . ✓

Étape 4 —

Lire la médiane : c'est la valeur

x_i

dont l'effectif cumulé atteint ou dépasse

\dfrac{N}{2}

pour la première fois.

Médiane : $\frac{N}{2} = 10$ → le cumulé atteint 10 pour la note 10 → $Me = 10$ . $Q_1$ : $\frac{N}{4} = 5$ → cumulé atteint 5 pour 8 → $Q_1 = 8$ .

Étape 5 —

Lire

Q_1

(effectif cumulé

\geq \dfrac{N}{4}

) et

Q_3

(effectif cumulé

\geq \dfrac{3N}{4}

) de la même façon, et interpréter ces valeurs dans le contexte.

$Q_3$ : $\frac{3N}{4} = 15$ → cumulé atteint 16 pour 12 → $Q_3 = 12$ . Interprétation : 25 % des élèves ont moins de 8, 50 % moins de 10 et 75 % moins de 12.

$Me = 10$ , $Q_1 = 8$ , $Q_3 = 12$ .

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