Comment simplifier une expression… : En appliquant sqrt a × b = sqrt a × sqrt b pour… — 3e | MetMat

Comment simplifier une expression contenant des racines carrées ?

En appliquant $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ pour extraire des facteurs carrés parfaits

Écrire $\sqrt{a}$ sous la forme $k\sqrt{b}$ où $b$ ne contient plus de facteur carré parfait, en utilisant $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ .

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Simplifier $\sqrt{12}$ .

L'objectif

Écrire $\sqrt{a}$ sous la forme $k\sqrt{b}$ où $b$ ne contient plus de facteur carré parfait, en utilisant $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ .

Le principe

On utilise la propriété $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ (pour $a, b \geq 0$ ). On cherche le plus grand carré parfait qui divise $a$ , on l'extrait sous la racine, puis on simplifie.

La méthode

1
Décomposer le nombre sous la racine en repérant le plus grand carré parfait qui le divise (4, 9, 16, 25, 36…).
Comment décomposer un entier en produit de facteurs premiers ?Voir
2
Écrire le nombre comme produit du carré parfait et du reste : $a = k^2 \times b$ .
3
Appliquer $\sqrt{k^2 \times b} = \sqrt{k^2} \times \sqrt{b} = k\sqrt{b}$ .
4
Vérifier que $b$ ne contient plus de facteur carré parfait (simplification terminée).

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Simplifier $\sqrt{12}$ .

Étape 1 —

Décomposer le nombre sous la racine en repérant le plus grand carré parfait qui le divise (4, 9, 16, 25, 36…).

Les diviseurs carrés parfaits de 12 : $4$ divise $12$ . Le plus grand est $4$ .

Étape 2 —

Écrire le nombre comme produit du carré parfait et du reste :

a = k^2 \times b

$12 = 4 \times 3$ , donc $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3}$ .

Étape 3 —

Appliquer

\sqrt{k^2 \times b} = \sqrt{k^2} \times \sqrt{b} = k\sqrt{b}

$\sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ .

Étape 4 —

Vérifier que

b

ne contient plus de facteur carré parfait (simplification terminée).

$3$ n'a pas de facteur carré parfait (autre que 1) : la simplification est terminée.

$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

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Comment simplifier une expression contenant des racines carrées ?

En appliquant a×b=a×b\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}a×b​=a​×b​ pour extraire des facteurs carrés parfaits

Pour comprendre, fais des exercices !

En appliquant $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ pour extraire des facteurs carrés parfaits