Comment résoudre une équation de la… : En distinguant les cas : a < 0 (aucune… — 3e | MetMat

Comment résoudre une équation de la forme $x^2 = a$ ?

En distinguant les cas : $a < 0$ (aucune solution), $a = 0$ ( $x = 0$ ), $a > 0$ ( $x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$ )

Trouver toutes les valeurs de $x$ vérifiant $x^2 = a$ , en justifiant le nombre de solutions selon le signe de $a$ .

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Résoudre $x^2 = 25$ .

L'objectif

Trouver toutes les valeurs de $x$ vérifiant $x^2 = a$ , en justifiant le nombre de solutions selon le signe de $a$ .

Le principe

Un carré est toujours positif ou nul. Ainsi $x^2 = a$ ne peut avoir de solution que si $a \geq 0$ . Lorsque $a > 0$ , il y a exactement deux solutions opposées : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$ .

La méthode

1
Identifier la valeur de $a$ dans l'équation $x^2 = a$ .
2
Étudier le signe de $a$ : si $a < 0$ , conclure qu'il n'y a aucune solution (un carré ne peut pas être négatif).
3
Si $a = 0$ , la seule solution est $x = 0$ .
4
Si $a > 0$ , les deux solutions sont $x = \sqrt{a}$ et $x = -\sqrt{a}$ .
Comment calculer ou encadrer la racine carrée d'un nombre ?Voir

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Résoudre $x^2 = 25$ .

Étape 1 —

Identifier la valeur de

a

dans l'équation

x^2 = a

$a = 25$ .

Étape 2 —

Étudier le signe de

a

: si

a < 0

, conclure qu'il n'y a aucune solution (un carré ne peut pas être négatif).

$a = 25 > 0$ , donc l'équation a des solutions (on passe à l'étape suivante).

Étape 3 —

a = 0

, la seule solution est

x = 0

$a = 25 \neq 0$ : le cas $a = 0$ ne s'applique pas.

Étape 4 —

a > 0

, les deux solutions sont

x = \sqrt{a}

x = -\sqrt{a}

$x = \sqrt{25} = 5$ ou $x = -\sqrt{25} = -5$ .

$x = 5$ ou $x = -5$

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Comment résoudre une équation de la forme x2=ax^2 = ax2=a ?

En distinguant les cas : a<0a < 0a<0 (aucune solution), a=0a = 0a=0 (x=0x = 0x=0), a>0a > 0a>0 (x=ax = \sqrt{a}x=a​ ou x=−ax = -\sqrt{a}x=−a​)

Pour comprendre, fais des exercices !

Comment résoudre une équation de la forme $x^2 = a$ ?

En distinguant les cas : $a < 0$ (aucune solution), $a = 0$ ( $x = 0$ ), $a > 0$ ( $x = \sqrt{a}$ ou $x = -\sqrt{a}$ )