Comment utiliser la proportionnalité… : En appliquant l'égalité des rapports donnée par… — 3e | MetMat

Comment utiliser la proportionnalité en géométrie ?

En appliquant l'égalité des rapports donnée par le théorème de Thalès dans une configuration de triangles emboîtés

Calculer une longueur inconnue dans une figure en utilisant le théorème de Thalès.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Dans un triangle $OAB$ , la droite $(MN)$ est parallèle à $(AB)$ avec $M \in [OA]$ et $N \in [OB]$ . On sait que $OM = 3\,\mathrm{cm}$ , $OA = 9\,\mathrm{cm}$ et $OB = 12\,\mathrm{cm}$ . Calculer $ON$ .

L'objectif

Calculer une longueur inconnue dans une figure en utilisant le théorème de Thalès.

Le principe

Si dans un triangle $OAB$ , une droite parallèle à $(AB)$ coupe $[OA]$ en $M$ et $[OB]$ en $N$ , alors $\frac{OM}{OA} = \frac{ON}{OB} = \frac{MN}{AB}$ .

La méthode

1
Identifier la configuration : un point $O$ (sommet), deux droites sécantes issues de $O$ , et deux droites parallèles entre elles coupant ces sécantes.
2
Vérifier et mentionner que $(MN) \parallel (AB)$ (condition d'application du théorème de Thalès).
3
Écrire l'égalité des rapports : $\frac{OM}{OA} = \frac{ON}{OB} = \frac{MN}{AB}$ .
Comment appliquer le théorème de Thalès pour calculer une longueur ?Voir
4
Sélectionner le rapport utile contenant la longueur inconnue, puis résoudre l'équation par produit en croix.
5
Conclure en donnant la valeur de la longueur inconnue avec son unité.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Étape 1 —

Identifier la configuration : un point

O

(sommet), deux droites sécantes issues de

O

, et deux droites parallèles entre elles coupant ces sécantes.

Configuration : point $O$ , droites sécantes $[OA]$ et $[OB]$ , droite $(MN)$ coupant ces sécantes.

Étape 2 —

Vérifier et mentionner que

(MN) \parallel (AB)

(condition d'application du théorème de Thalès).

$(MN) \parallel (AB)$ , donc le théorème de Thalès s'applique dans le triangle $OAB$ .

Étape 3 —

Écrire l'égalité des rapports :

\frac{OM}{OA} = \frac{ON}{OB} = \frac{MN}{AB}

$\frac{OM}{OA} = \frac{ON}{OB} = \frac{MN}{AB}$ .

Étape 4 —

Sélectionner le rapport utile contenant la longueur inconnue, puis résoudre l'équation par produit en croix.

On utilise $\frac{OM}{OA} = \frac{ON}{OB}$ : $\frac{3}{9} = \frac{ON}{12}$ , donc $ON = \frac{3 \times 12}{9} = 4$ .

Étape 5 —

Conclure en donnant la valeur de la longueur inconnue avec son unité.

$ON = 4\,\mathrm{cm}$ .

$ON = \mathbf{4\,\mathrm{cm}}$ .

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