Comment trouver le PGCD de deux… : En décomposant chaque nombre en facteurs… — 3e | MetMat

Comment trouver le PGCD de deux entiers ?

En décomposant chaque nombre en facteurs premiers et en prenant le produit des facteurs communs au plus petit exposant

Calculer le PGCD de deux entiers en utilisant leur décomposition en facteurs premiers.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Calcule $\mathrm{PGCD}(180, 126)$ .

L'objectif

Calculer le PGCD de deux entiers en utilisant leur décomposition en facteurs premiers.

Le principe

Le PGCD de deux entiers est le produit de leurs facteurs premiers communs, chacun pris avec le plus petit des deux exposants.

La méthode

1
Décomposer le premier nombre en produit de facteurs premiers.
2
Décomposer le second nombre en produit de facteurs premiers.
3
Repérer les facteurs premiers communs aux deux décompositions.
4
Pour chaque facteur commun, retenir le plus petit exposant. Multiplier ces puissances : le résultat est le $\mathrm{PGCD}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Calcule $\mathrm{PGCD}(180, 126)$ .

Étape 1 —

Décomposer le premier nombre en produit de facteurs premiers.

$180 = 2^2 \times 3^2 \times 5$

Étape 2 —

Décomposer le second nombre en produit de facteurs premiers.

$126 = 2 \times 3^2 \times 7$

Étape 3 —

Repérer les facteurs premiers communs aux deux décompositions.

Facteurs communs : $2$ et $3$ .

Étape 4 —

Pour chaque facteur commun, retenir le plus petit exposant. Multiplier ces puissances : le résultat est le

\mathrm{PGCD}

On prend $2^1$ (min de 2 et 1) et $3^2$ (min de 2 et 2) : $\mathrm{PGCD}(180, 126) = 2 \times 9 = 18$ .

$\mathrm{PGCD}(180, 126) = 18$

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