Comment décomposer un entier en… : En divisant successivement par les nombres… — 3e | MetMat

Comment décomposer un entier en produit de facteurs premiers ?

En divisant successivement par les nombres premiers (2, 3, 5, 7, …) jusqu'à obtenir 1

Écrire un entier naturel sous la forme d'un produit de facteurs premiers.

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Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Décompose $60$ en produit de facteurs premiers.

L'objectif

Écrire un entier naturel sous la forme d'un produit de facteurs premiers.

Le principe

Tout entier naturel supérieur à 1 peut s'écrire de façon unique comme produit de nombres premiers. On obtient cette décomposition en divisant l'entier par le plus petit nombre premier qui le divise, puis en recommençant avec le quotient, jusqu'à atteindre 1.

La méthode

1
Tester si le nombre est divisible par 2 (il est pair) ; si oui, le diviser par 2 et noter ce facteur. Recommencer avec le quotient tant qu'il est divisible par 2.
2
Tester ensuite la divisibilité par 3, puis par 5, puis par 7, etc. À chaque fois que le nombre est divisible, le diviser et noter le facteur premier. Recommencer avec chaque quotient.
3
S'arrêter lorsque le quotient obtenu est égal à 1.
4
Écrire la décomposition : le nombre initial est égal au produit de tous les facteurs premiers notés, en regroupant les facteurs identiques sous forme de puissances si nécessaire.

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Décompose $60$ en produit de facteurs premiers.

Étape 1 —

Tester si le nombre est divisible par 2 (il est pair) ; si oui, le diviser par 2 et noter ce facteur. Recommencer avec le quotient tant qu'il est divisible par 2.

$60$ est pair : $60 \div 2 = 30$ . $30$ est pair : $30 \div 2 = 15$ . $15$ est impair, on passe au facteur suivant.

Étape 2 —

Tester ensuite la divisibilité par 3, puis par 5, puis par 7, etc. À chaque fois que le nombre est divisible, le diviser et noter le facteur premier. Recommencer avec chaque quotient.

$15$ est divisible par 3 : $15 \div 3 = 5$ . $5$ n'est pas divisible par 3, on teste 5 : $5 \div 5 = 1$ .

Étape 3 —

S'arrêter lorsque le quotient obtenu est égal à 1.

Le quotient est 1, on s'arrête.

Étape 4 —

Écrire la décomposition : le nombre initial est égal au produit de tous les facteurs premiers notés, en regroupant les facteurs identiques sous forme de puissances si nécessaire.

On a utilisé les facteurs $2, 2, 3, 5$ , donc $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ .

$60 = 2^2 \times 3 \times 5$

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