Comment résoudre un problème faisant… : En modélisant les contraintes avec des… — 2de | MetMat

Comment résoudre un problème faisant intervenir des multiples ou des diviseurs ?

En modélisant les contraintes avec des expressions $n = k \times a$ et en exploitant les propriétés des multiples

Résoudre un problème de divisibilité en traduisant les données sous forme $n = k \times a$ et en appliquant les propriétés des multiples.

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Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Montrer que si $n$ est un multiple de 6, alors $n^2$ est un multiple de 36.

L'objectif

Résoudre un problème de divisibilité en traduisant les données sous forme $n = k \times a$ et en appliquant les propriétés des multiples.

Le principe

La somme (ou la différence) de deux multiples de $a$ est un multiple de $a$ ; le produit d'un multiple de $a$ par un entier est aussi un multiple de $a$ .

La méthode

1
Identifier et exprimer chaque contrainte sous la forme $n = k \times a$ (écriture d'un multiple).
2
Effectuer les opérations nécessaires (somme, différence, produit) en factorisant par $a$ .
3
Conclure en montrant que le résultat s'écrit bien sous la forme $k' \times a$ , ce qui prouve qu'il est multiple de $a$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Montrer que si $n$ est un multiple de 6, alors $n^2$ est un multiple de 36.

Étape 1 —

Identifier et exprimer chaque contrainte sous la forme

n = k \times a

(écriture d'un multiple).

Puisque $n$ est un multiple de 6, on écrit $n = 6k$ avec $k$ entier.

Étape 2 —

Effectuer les opérations nécessaires (somme, différence, produit) en factorisant par

a

$n^2 = (6k)^2 = 36k^2$ .

Étape 3 —

Conclure en montrant que le résultat s'écrit bien sous la forme

k' \times a

, ce qui prouve qu'il est multiple de

a

$n^2 = 36 \times k^2$ , donc $n^2$ est un multiple de 36.

$n^2$ est un multiple de 36.

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Comment résoudre un problème faisant intervenir des multiples ou des diviseurs ?

En modélisant les contraintes avec des expressions n=k×an = k \times an=k×a et en exploitant les propriétés des multiples

Pour comprendre, fais des exercices !

En modélisant les contraintes avec des expressions $n = k \times a$ et en exploitant les propriétés des multiples