Comment simplifier une fraction pour… : En calculant le PGCD par l'algorithme… — 2de | MetMat

Comment simplifier une fraction pour la rendre irréductible ?

En calculant le PGCD par l'algorithme d'Euclide, puis en divisant par ce PGCD

Rendre irréductible une fraction $\frac{a}{b}$ en calculant $\mathrm{PGCD}(a, b)$ par l'algorithme d'Euclide.

Maîtriser

Reconnaître

Résoudre

Que ferais-tu face à un exercice de ce type ?

Rendre irréductible la fraction $\frac{84}{120}$ .

L'objectif

Rendre irréductible une fraction $\frac{a}{b}$ en calculant $\mathrm{PGCD}(a, b)$ par l'algorithme d'Euclide.

Le principe

Le PGCD de deux entiers est le dernier reste non nul dans la suite de divisions euclidiennes successives (algorithme d'Euclide).

La méthode

1
Poser la division euclidienne du plus grand entier par le plus petit : $a = b \times q_1 + r_1$ .
2
Recommencer avec $b$ et $r_1$ : $b = r_1 \times q_2 + r_2$ , et ainsi de suite jusqu'à obtenir un reste nul.
3
Le dernier reste non nul est le $\mathrm{PGCD}(a, b)$ .
4
Diviser le numérateur et le dénominateur par ce PGCD : $\frac{a}{b} = \frac{a \div \mathrm{PGCD}}{b \div \mathrm{PGCD}}$ .

Pour comprendre, fais des exercices !

Exercice d'exemple

Rendre irréductible la fraction $\frac{84}{120}$ .

Étape 1 —

Poser la division euclidienne du plus grand entier par le plus petit :

a = b \times q_1 + r_1

$120 = 84 \times 1 + 36$ .

Étape 2 —

Recommencer avec

b

r_1

b = r_1 \times q_2 + r_2

, et ainsi de suite jusqu'à obtenir un reste nul.

$84 = 36 \times 2 + 12$ ; $36 = 12 \times 3 + 0$ .

Étape 3 —

Le dernier reste non nul est le

\mathrm{PGCD}(a, b)

Le dernier reste non nul est 12, donc $\mathrm{PGCD}(84, 120) = 12$ .

Étape 4 —

Diviser le numérateur et le dénominateur par ce PGCD :

\frac{a}{b} = \frac{a \div \mathrm{PGCD}}{b \div \mathrm{PGCD}}

$\frac{84}{120} = \frac{84 \div 12}{120 \div 12} = \frac{7}{10}$ .

$\frac{84}{120} = \frac{7}{10}$

Les applications suivantes et la correction guidée sont réservées aux membres Premium

La méthode et sa première application corrigée restent en accès libre. Le Premium débloque les applications suivantes, l'aide IA et le suivi de ta maîtrise.